Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 2
- Prove que uma equação da forma (note a ausência de z) descreve uma superfície cilíndrica de geratrizes paralelas a e diretriz
(vale resultado análogo para equações da forma e ).
- Conclua que toda quádrica cilíndrica (Capítulo 25) é uma superfície cilíndrica.
(vale resultado análogo para equações da forma e ).
Passo 1
Vamos provar que toda equação descreve uma superfície cilíndrica de geratriz paralela a . Como o procedimento é exatamente o mesmo para as curvas e , não iremos fazer, mas concluir por tabela.
Então, como que a gente prova isso aí? Esta é uma boa pergunta, né?
Vejam só, a ideia da gente vai ser repetir o procedimento para obtenção da equação superfície cilíndrica com geratrizes paralelas . Depois, iremos verificar as restrições das constantes , e .
Portanto, vamos seguir com as contas.
Passo 2
Agora, vamos montar o sistema de equações que precisamos resolver.
Um ponto pertence a se, e somente se, existe um ponto que pertence a e .
Portanto, se pertence a , temos:
E, se , também temos:
Portanto, o sistema que devemos resolver consiste destas 5 equações. Logo,
Passo 3
Iremos resolver o sistema de 5 equações obtidas no final do Passo anterior. Para isto, vamos substituir as três últimas equações nas duas primeiras. Obteremos então:
Da segunda equação, temos:
Substituindo na nossa primeira equação, obtemos a seguinte equação de livre de parâmetros:
Só que queremos provar que é equação da superfície cilíndrica. Então, vamos comparar esta relação com a relação obtida. Desta forma, temos:
Comparando o que há dentro da função, temos duas possibilidades: (o que implica na curva no plano), ou, se passarmos para o espaço todo, .
Desta forma, como estamos trabalhando no espaço, devemos ter . Logo, o vetor diretor da superfície cilíndrica é . Em outras palavras, é paralelo ao eixo
Assim, provamos o que a questão nos pediu!
Passo 4
Uma quádrica cilíndrica, por definição, são superfícies do espaço obtidas por equações que contém apenas duas variáveis.
Nesta questão, provamos que equações com duas variáveis, independentemente de quais variáveis estamos trabalhando, são superfícies cilíndricas.
Sendo assim, associando a definição de quádrica cilíndrica com o resultado obtido para a letra a), podemos concluir que toda quádrica cilíndrica é uma superfície cilíndrica.
Resposta
- Enunciado provado.
- Sendo assim, associando a definição de quádrica cilíndrica com o resultado obtido para a letra a), podemos concluir que toda quádrica cilíndrica é uma superfície cilíndrica.