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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.Exercícios Suplementares - Ex. 16a

Prove: se S for uma base de um espaço vetorial V , então valem as relações seguintes com quaisquer vetores u e v e qualquer escalar k .

  1. u + v S = u S + v S

Passo 1

Suponha que V = R n e que S é a base canônica desse espaço. Ou seja, S = e 1 , … ,   e n .

Suponha ainda que, u ,   v ϵ V , temos que:

u + v S = u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n + v 1 , v 2 , … ,   v n S

= u 1 + v 1 , u 2 + v 2 , … ,   u n + v n S

= ( u 1 + v 1 ) × e 1 + u 2 + v 2 × e 2 + … + u n + v n × e n

= u 1 × e 1 + u 2 × e 2 + … + u n × e n + v 1 × e 1 + v 2 × e 2 + … + v n × e n

= u S + v S .

Resposta

Assim, conclui-se a demonstração.

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Com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas no Exemplo 7 , mostre que V = R 2 satisfaz os Axiomas de 1 até 9.
Prove as partes a - ( c ) do Teorema 3.1 . 2 .
Prove as partes e - ( h ) do Teorema 3.1 . 1 .
Prove: se S for uma base de um espaço vetorial V , então valem as relações seguintes com quaisquer vetores u e v e qualquer escalar k . (b) k × v S = k × v S