Prove: se S for uma base de um espaço vetorial V , então valem as relações seguintes com quaisquer vetores u e v e qualquer escalar k .

  1. u + v S = u S + v S

Passo 1

Suponha que V = R n e que S é a base canônica desse espaço. Ou seja, S = e 1 , … ,   e n .

Suponha ainda que, u ,   v ϵ V , temos que:

u + v S = u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n + v 1 , v 2 , … ,   v n S

= u 1 + v 1 , u 2 + v 2 , … ,   u n + v n S

= ( u 1 + v 1 ) × e 1 + u 2 + v 2 × e 2 + … + u n + v n × e n

= u 1 × e 1 + u 2 × e 2 + … + u n × e n + v 1 × e 1 + v 2 × e 2 + … + v n × e n

= u S + v S .

Resposta

Assim, conclui-se a demonstração.

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