Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 15
Com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas no Exemplo , mostre que satisfaz os Axiomas de até 9.
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
Para esta questão, temos que verificar os seguintes axiomas:
- Se e são objetos em , então é um objeto em .
- .
- Existe um objeto em , denominado vetor nulo de , ou vetor zero, tal que .
- Dado qualquer em , existe algum objeto , denominado negativo de , tal que .
- Se for qualquer escalar e um objeto em , então é um objeto em .
- .
- .
- .
Lembrando que chamaremos de o conjunto do Exemplo com suas devidas operações. Portanto:
Considere que e que as operações de adição e multiplicação sejam definidas por:
Onde:
Passo 2
Então, para o axioma , temos que:
Que é da forma de . Assim, podemos dizer que está em , portanto o axioma é satisfeito.
Considere que:
Portanto, podemos dizer que:
Estando assim satisfeito o axioma .
Passo 3
O axioma diz que tem que ser igual a . Temos que:
Portanto:
Agora vamos avaliar . Temos que:
Portanto:
Ou seja:
Ficando assim satisfeito o terceiro axioma.
Passo 4
Seja o vetor zero em , temos que:
Logo:
Temos também que:
Logo:
Portanto:
Ficando assim satisfeito o axioma .
Passo 5
Seja o negativo de :
Portanto:
Logo:
Além disso, podemos dizer que:
Portanto, está em e . Sendo assim o axioma está provado.
Seja um escalar, temos que:
Portanto o axioma está satisfeito.
Passo 6
Já sabemos que , portanto:
Sabemos também que:
Analogamente, temos que:
Portanto:
Ficando assim provado que:
Respeitando assim o axioma .
Passo 7
Vamos encontrar :
Temos também que:
Ou seja:
Satisfazendo assim o axioma .
Vamos encontrar agora
Ou seja:
Satisfazendo assim o axioma .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)