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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 36

Prove as partes (e) - ( h ) do Teorema 3.1 . 1 .

Passo 1

Vamos provar, primeiramente, o item ( e ) do Teorema 3.1 . 1 . Ou seja, que:

k xx (v + w) = k xx v + k xx w .

Sejam v , w in R^n e k um escalar.

Desenvolvendo o primeiro lado da igualdade acima, temos:

k xx [(v_1 , v_2 , ... , v_n) + (w_1 , w_2 , ... , w_n)] = k xx (v_1 + w_1 , v_2 + w_2 , ... , v_n + w_n)

= (k xx (v_1 + w_1) , k xx (v_2 + w_2) , ... , k xx (v_n + w_n))

= (k xx v_1 + k xx w_1 , k xx v_2 + k xx w_2 , ... , k xx v_n + k xx w_n)

= (k xx v_1 , k xx v_2 , ... , k xx v_n) + (k xx w_1 , k xx w_2 , ... , k xx w_n)

= k xx (v_1 , v_2 , ... , v_n) + k xx (w_1 , w_2 , ... , w_n)

= k xx v + k xx w .

Assim, concluímos a demonstração do item (e) .

Passo 2

Vamos provar o item ( f ) do Teorema 3.1 . 1 . Ou seja, que:

(k + m) xx v = k xx v + m xx v

Sejam v in R^n e k , m escalares.

Desenvolvendo o primeiro lado da igualdade acima, temos:

(k + m) xx (v_1 , v_2 , ... , v_n) = ((k + m) xx v_1 , (k + m) xx v_2 , ... , (k + m) xx v_n)

= (k xx v_1 + m xx v_1 , k xx v_2 + m xx v_2 , ... , k xx v_n + m xx v_n)

= (k xx v_1 , k xx v_2 , ... , k xx v_n) + (m xx v_1 , m xx v_2 , ... , m xx v_n)

= k xx (v_1 , v_2 , ... , v_n) + m xx (v_1 , v_2 , ... , v_n)

= k xx v + m xx v .

Assim, concluímos a demonstração do item (f) .

Passo 3

Vamos provar o item ( g ) do Teorema 3.1 . 1 . Ou seja, que:

k xx (m xx u) = (k xx m) xx u

Sejam u in R^n e k , m escalares.

Desenvolvendo o primeiro lado da igualdade acima, temos:

k xx (m xx (u_1 , u_2 , ... , u_n)) = k xx (m xx u_1 , m xx u_2 , ... , m xx u_n)

= (k xx m xx u_1 , k xx m xx u_2 , ... , k xx m xx u_n)

= (k xx m) xx (u_1 , u_2 , ... , u_n)

= (k xx m) xx u .

Assim, concluímos a demonstração do item (g) .

Resposta

Vamos provar o item ( h ) do Teorema 3.1 . 1 . Ou seja, que:

1 xx u = u

Sejam u in R^n e 1 o escalar.

Desenvolvendo o primeiro lado da igualdade acima, temos:

1 xx u = 1 xx (u_1 , u_2 , ... , u_n) = (1 xx u_1 , 1 xx u_2 , ... , 1 xx u_n) = (u_1 , u_2 , ... , u_n) = u .

Assim, concluímos a demonstração do item (h) .

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