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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 31

Prove a parte (c) do Teorema 5.3.1

Passo 1

O Teorema 5.3.1c diz que:

overset(-)(vec u + vec v) = overset(-)(vec u) + overset(-)(vec v)

Digamos que vec u e vec v sejam compostos por uma parte real e outra complexa:

vec u = vec u_R + i vec u_C

vec v = vec v_R + i vec v_C

[[vec u_R,,,e,,,vec v_R,in,R^n,i,vec u_C,,,e,,,i,vec v_C,in,C^n]]

Passo 2

Vamos aplicar os valores:

overset(-)(vec u + vec v) = overset(-)((vec u_R + i vec u_C) + (vec v_R + i vec v_C))

Vamos pôr o i em evidência:

overset(-)(vec u + vec v) = overset(-)((vec u_R + vec v_R) + i (vec u_C + vec v_C))

Aplicamos o conjugado:

overset(-)(vec u + vec v) = (vec u_R + vec v_R) - i (vec u_C + vec v_C)

Vamos aplicar a propriedade distributiva:

overset(-)(vec u + vec v) = (vec u_R + vec v_R) - i vec u_C - i vec v_C

Agora, vamos juntar os componentes dos vetores novamente:

overset(-)(vec u + vec v) = (vec u_R - i vec u_C) + ( vec v_R - i vec v_C )

Perceba que (vec u_R - i vec u_C) = overset(-)(vec u) e que (vec v_R - i vec v_C) = overset(-)(vec v) . Vamos aplicar isso:

overset(-)(vec u + vec v) = overset(-)(vec u) + overset(-)(vec v)

E assim, demonstramos o teorema.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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