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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 1

Sejam u , v o produto interno euclidiano em R 2 e u = 1,1 , v = 3,2 , w = 0 , - 1 e k = 3 . Calcule as expressões dadas.

  1. u , v
  2. k v , w
  3. u + v , w
  4. | v |
  5. d u , v
  6. u - k v

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item a:

u , v = u 1 v 1 + u 2 v 2

Como u = 1,1 e v = 3,2 , temos que:

u , v = 1 ⋅ 3 + 1 ⋅ 2

u , v = 5

Passo 2

Item b:

k v , w = k v , w

k v , w = k v 1 w 1 + v 2 w 2

Substituindo os valores, temos que:

k v , w = 3 3 ⋅ 0 + 2 ⋅ - 1

k v , w = - 6

Passo 3

Item c:

u + v , w = u , w + v , w

u + v , w = u 1 w 1 + u 2 w 2 + v 1 w 1 + v 2 w 2

Substituindo os valores, temos que:

u + v , w = 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ - 1 + 3 ⋅ 0 + 2 ⋅ - 1

u + v , w = - 3

Passo 4

Item d:

v = v , v

Ou seja:

v = ( v 1 v 1 + v 2 v 2

Substituindo, temos que:

v = 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 2

v = 13

Passo 5

Item e:

d u , v = u - v

Ou seja:

d u , v = u - v , u - v

Sabendo que u - v = 1 - 3 , 1 - 2 = - 2 , - 1 , temos que:

d u , v = - 2 ⋅ - 2 + - 1 ⋅ - 1

d u , v = 5

Passo 6

Item f:

u - k v = u - k v , u - k v

Temos que:

u - k v = 1,1 - 3 3,2

u - k v = 1 - 9,1 - 6

u - k v = - 8 , - 5

Aplicando seu produto interno, temos que:

u - k v = - 8 ⋅ - 8 + - 5 ⋅ - 5

u - k v = 64 + 25

u - k v = 89

Resposta

a )   u , v = 5

b ) k v , w = - 6  

c )   u + v , w = - 3

d )   v = 13

e ) d u , v = 5  

f ) u - k v = 89  

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