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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 2.1 - Ex. 9

Mostre que se V é ortogonal a W 1 ,   . . .   , W k   então V é ortogonal a qualquer combinação linear de

W 1 ,   . . .   , W k   .

Passo 1

Fala, galera!

Como vocês já devem tá ligados, se V é ortogonal a W 1 ,   . . .   , W k   temos que

< V , W 1 >   =   . . .   =   < V , W k >   = 0 .

Então, vamos ver o que acontece quando fazemos o produto interno de V com um vetor que é combinação linear de W 1 ,   . . .   , W k   :

W = a 1 W 1 +   . . .   + a k W k  

Passo 2

Para isso, vamos usar as seguintes propriedades: < X , Y + Z >   =   < X , Y >   +   < X , Z > e < X , a Y >   =   a < X , Y > . Então, vamos lá:

< V , W >   =   < V , a 1 W 1 +   . . .   + a k W k   >   =     < V , a 1 W 1 >   +   . . .   +   < V , a k W k   >  

< V , W >   =     a 1 < V , W 1 >   +   . . .   +   a k < V , W k >

< V , W >   =     a 1 ⋅ 0   +   . . .   +   a k ⋅ 0 = 0

< V , W >   = 0

Resposta

Veja a resolução acima.

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31. Prove que a Fórmula (4) define um produto interno em R n .
Suponha que M 2 2 tenha o produto interno do E x e m p l o6 . Em cada parte, encontre d A , B . A = 2 96 4 ,B = - 4 17 6 A = - 2 14 0 ,B = - 5 61 2
Suponha que P 2 tenha o produto interno do E x e m p l o9 e considere p = 1 + x + x 2 e q = 1 - 2 x 2 . Em cada parte, calcule a expressão. p , q p d p , q
Repita o E x e r c í c i o 5 í com o produto interno em R^2 gerado por [[[1],[2]] [[0],[- 1]]] .
Repita o E x e r c í c i o3 í com o produto interno euclidiano ponderado u , v = 4 u 1 v 1 + 5 u 2 v 2 .