Enunciado

Prove que o lugar geométrico dos pontos de E ³ que equidistam de três pontos dados, A ,   B e C é:

a) uma reta perpendicular ao plano A B C , se os três pontos não são colineares;

b) o conjunto vazio, se A ,   B e C são colineares e A ≠ B ≠ C ≠ A ;

c) um plano perpendicular à reta que contém A ,   B e C , se (apenas) dois desses pontos coincidem;

d) o espaço E 3 , se A = B = C .

Passo 1

Antes de começar, vamos lembrar uma coisa: se um lugar geométrico X equidista de A ,   B e C e esses 3 pontos são distintos, X será a intersecção dos planos mediadores de A B e B C ok?

Passo 2

a) Nesse caso, temos algo assim:

Os vetores normais A B e B C dos planos transversais são LI, pois os pontos não são colineares, portanto, os planos são transversais e se interceptam em uma reta.

Essa reta, que representa o lugar geométrico X , vai ter vetor diretor paralelo a A B ∧ B C , e, portanto, por definição de produto vetorial, é perpendicular ao plano A B C .

Interessante lembrarmos que essa reta vai passar no circuncentro do triângulo A B C .

Passo 3

b) Agora, como os pontos são colineares, temos algo assim:

Nesse caso, com os pontos sendo colineares, os planos mediadores são paralelos, pois A B e B C são LD (já que são paralelos), certo? Além disso, como o ponto médio de A B só pertence a um dos planos e o ponto médio de B C pertence ao outro, os planos são distintos.

Sabemos que dois planos paralelos distintos não possuem intersecção, e como essa intersecção seria dada pelo lugar geométrico X que queremos, X não existe nesse caso ;)

Passo 4

c) Vamos supor que A = B :

Nesse caso, os planos mediadores são iguais, porque o vetor normal A C é igual ao vetor normal B C .

A intersecção entre dois planos iguais é o próprio plano, certo? E como A C (ou B C ) são os vetores normais desse plano, ele é perpendicular à reta que contém A ,   B e C .

Passo 5

d) Se A = B = C , é como se tivéssemos apenas um ponto, apenas um lugar geométrico para representar A ,   B e C .

Por geometria, sabemos que qualquer ponto, reta, plano, enfim hehe qualquer lugar geométrico terá a mesma distância até A ,   B e C , pois eles estão no mesmo lugar. Então, o lugar geométrico é o próprio E ³ .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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