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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 81

Sejam P e Q pontos distintos, pertencentes a uma hipérbole H . Prove que as retas tangentes a H em P e Q são paralelas se, e somente se, o centro da hipérbole é o ponto médio de P Q .

Passo 1

Vamos supor que o ponto de tangência P tem coordenadas ( h , k ) e Q tem coordenas ( u , v ) , portanto a equação das retas tangentes a hipérbole nesses dois pontos serão:

h x p + k y q = 1

u x p + v y q = 1

Pra uma equação de hipérbole genérica igual a x 2 p + y 2 q = 1 . E essas duas equações podem ser escritas como:

k y q = 1 - h x p

y = q k - h q x p k

y = q v - u q x p v

E pra termos duas retas paralelas então deveremos ter:

u q p v = h q p k

Por serem retas paralelas, então o coeficiente angular é igual.

u v = h k

Passo 2

Agora aplicando esses pontos da hipérbole nós teremos:

h 2 p + k 2 q = 1

u 2 p + v 2 q = 1

Então:

h 2 p + k 2 q = u 2 p + v 2 q

Substituindo u = h v k (do passo 1) teremos:

h 2 p + k 2 q = h 2 v 2 k 2 p + v 2 q

Isolando v 2   do lado direito:

h 2 p + k 2 q = v 2 h 2 k 2 p + 1 q

Fazendo mmc nos dois lados

h 2 q + k 2 p p q = v 2 h 2 q + k 2 p k 2 p q

Dividindo um pelo o outro:

k 2 = v 2

Portando h 2 = u 2 , ou seja:

k = ± v

h = ± u

Passo 3

Isso nos abre a possibilidade de quatro respostas para Q .

( u , v ) = ( k , h )

( u , v ) = ( - k , h )

( u , v ) = ( k , - h )

( u , v ) = ( - k , - h )

Só que se aplicarmos ( - h , k ) ou ( h , - k ) na reta equação da tangente nós não teremos uma equação que seja paralela com y = q k - h q x p k   , não sendo respostas válidas e como P ≠ Q então a única resposta possível para esse problema é:

Q = ( - h , - k )

Que forma com P uma reta com centro na origem. Essa resposta vai de encontro com o pensamento na página 61 (que era uma elipse, e que também nos dá duas retas paralelas a tangente em pontos simétricos a origem).

E os pontos coordenados ( h , k ) e ( - h , - k ) estão em uma reta y = c x onde a origem é o ponto médio.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Prove que, se P = ( h , k ) pertence a região côncava determinada pela hipérbole H : x 2 p + y 2 q = 1 , existem duas retas tangentes a H que contêm P .
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Prove que, se r é uma reta tangente a hipérbole H , então todos os seus pontos, exceto o ponto de tangência, pertencem a região côncava determinada por H .
( a ) O paralelogramo A B C D tem os lados A B e D C paralelos ao eixo transverso da hipérbole H : x 2 3 - y 2 2 = 1 e os lados A D e B C contidos em retas tangentes a H . Os pontos de tangência têm c
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