Prove a equivalência das afirmações a e c do Teorema 7.1 . 1 .

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 20

Prove a equivalência das afirmações e do Teorema .

Passo 1

Pois bem, já que queremos mostrar que são equivalentes as afirmações, então, nada mais justo do que escrevê-las aqui. Sendo assim, para uma matriz de tamanho temos

é ortogonal.

Os vetores coluna de formam um conjunto ortonormal de em relação ao produto interno euclidiano.

Passo 2

Já que queremos mostrar a equivalência devemos conseguir sair de uma afirmação e chegar na outra, sendo assim, consideremos que é ortogonal isso implica que

A entrada na i-ésima linha e j-ésima coluna do produto é um produto, pontual, isto é, , portanto vamos ter

Agora se tivermos teremos

Generalizando o resultado acima teremos

Esse resultado é verdade apenas se é um conjunto ortonormal em . Portanto, o conjunto só é ortonormal se é uma matriz ortogonal.

Resposta

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24. Use a desiguladade de Cauchy-Schwarz para provar que, dados quaiquer valores reais de a , b e θ , vale a cos ⁡ θ + bs e nθ 2 ≤ a 2 + b 2

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