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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas propostos - Ex. 1d

Se vec u = 3 vec i - vec j - 2 vec k , vec v = 2 vec i + 4 vec j - vec k e vec w = - vec i + vec k , determinar:

d) ( vec u xx vec v ) xx ( vec v xx vec u )

Passo 1

Para achar o produto vetorial entre dois vetores vamos achar o determinante da seguinte matriz:

vec a xx vec b = |[[i,j,k],[x_a,y_a,z_a],[x_b,y_b,z_b]]|

Para achar esse determinante, temos o método de Sarraus, que fica assim:

Credo né?? Relaxa que com os números fica mais bonitinho!! 😊

Como temos que nosso produto é vec u xx vec v e vec u = ( 3 , - 1 , - 2 ) e vec v = ( 2,4 , - 1 ) , ficamos com

vec u xx vec v = |[[i,j,k],[3,-,1,-,2],[2,4,-,1]]|

Passo 2

Para fazer esse determinante vamos resolver o determinante, vamos fazer a regra de Sarrus (a que foi mostrada no passo 2) ficamos com:

i xx (- 1) xx ( - 1 ) + j xx (- 2) xx 2 + k xx 3 xx 4 - k xx (- 1) xx 2 - i xx (- 2) xx 4 - j xx 3 xx ( - 1 )

Simplificando isso dai, ficamos com:

vec u xx vec v = i - 4 j + 12 k - 3 j + 2 k + 8 i + 3 j

vec u xx vec v = 9 i - j + 14 k

Passo 3

Agora para vec w xx vec u , ficamos com

vec v xx vec u = |[[i,j,k],[2,4,-,1],[3,-,1,-,2]]|

Para acostumar com as nossas propriedades, vamos lembrar que

Para qualquer vec u e vec w , podemos afirmar que vec u xx vec w = - vec w xx vec u

Então, como vec u xx vec v = 9 i - j + 14 k

Temos que

vec v xx vec u = - 9 i + j - 14 k

Passo 4

Agora, vamos fazer ( vec u xx vec v ) xx ( vec v xx vec u )

(vec u xx vec v) xx (vec v xx vec u) = (9 , - 1,14) xx ( - 9,1 , - 14 )

(vec u xx vec v) xx (vec v xx vec u) = |[[i,j,k],[9,-,1,14],[-,9,1,-,14]]|

(vec u xx vec v) xx (vec v xx vec u) = 14 i - 126 j + 9 k - 9 k - 14 i + 126 j

(vec u xx vec v) xx (vec v xx vec u) = vec 0

Resposta

(vec u xx vec v) xx (vec v xx vec u) = vec 0

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Mostrar que o quadrilátero A B C D de vértices A 4 ,1 ,2 ,B 5 ,0 ,1 ,C ( - 1,2 , - 2 ) e D ( - 2 ,3 , - 1 ) é um paralelogramo e calcular sua área.
Sabendo que u → = 6 ,v → = 4 e 30 ° o ângulo entre u → e v → , calcular:c) a área do paralelogramo determinado por u → + v → e u → - v → .
26. Calcular z , sabendo-se que A 2,0 , 0 , B 0,2 , 0 e C 0,0 , z são vértices de um triângulo de área 6.
27. Dados os pontos A 2,1 , - 1 e B 0,2 , 1 , determinar o ponto C do eixo O y de modo que a área do triângulo A B C seja 1,5 u.a.
29. Os pontos médios dos lados do triângulo A B C são M 0,1 , 3 , N 3 , - 2,2 e P 1,0 , 2 . Determinar a área do triângulo A B C .