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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.5 - Ex. 1

Encontre os valores singulares distintos de A .

A = [ [[1,2,0]] ]

Passo 1

Olá! Tudo bem? Os valores singulares da matriz A são raízes quadradas de autovalores de A^T A . Primeiro, vamos calcular a matriz A^T A .

A^T A = [[[1,2,0]]] [[[1],[2],[0]]] = [[[1,2,0],[2,4,0],[0,0,0]]]

Agora, vamos encontrar seus autovalores e, consequentemente, os valores singulares de A .

det (lambda I - A^T A) = [[[lambda,-,1,-,2,0],[-,2,lambda,-,4,0],[0,0,lambda]]] = 0 |[[-,2,0],[lambda,-,4,0]]| - 0 |[[lambda,-,1,0],[-,2,0]]| + lambda |[[lambda,-,1,-,2],[-,2,lambda,-,4]]|

det (lambda I - A^T A) = 0 - 0 + lambda [(lambda - 1) (lambda - 4) - 4] = lambda (lambda^2 - 5 lambda) = lambda^2 (lambda - 5)

Portanto, a equação característica de A^T A é lambda^2 (lambda - 5) = 0 , o que nos mostra que os autovalores de A^T A são lambda_1 = 5 e lambda_2 = 0 . Deste modo os valores singulares de A são:

sigma_1 = sqrt(lambda_1) = sqrt(5)

sigma_2 = sqrt(lambda_2) = sqrt(0) = 0

Resposta

0 , sqrt(5)

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