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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 40b

Prove a parte (c) do Teorema 3.5.2

Passo 1

Nessa questão precisamos provar (vec v + vec w) xx vec u = (vec v xx vec u) + (vec w xx vec u)

Passo 2

Vamos começar com vec u xx (vec v + vec w)

vec u xx (vec v + vec w) = |[[vec i,vec j,vec k],[v_x,+,w_x,v_y,+,w_y,v_z,+,w_z],[u_x,u_y,u_z]]|

vec u xx (vec v + vec w) = vec i |[[v_y,+,w_y,v_z,+,w_z],[u_y,u_z]]| - vec j |[[v_x,+,w_x,v_z,+,w_z],[u_x,u_z]]| + vec k |[[v_x,+,w_x,v_y,+,w_y],[u_x,u_y]]|

= vec i (u_z (v_y + w_x) - u_y (v_z + w_z)) - vec j (u_z (v_x + w_x) - u_x (v_z + w_z)) + vec k (u_y (v_x + w_x) - u_x (v_y + w_y))

Passo 3

Agora, vamos desenvolver (vec v xx vec u) + (vec w xx vec u)

(vec v xx vec u) + (vec w xx vec u) = |[[vec i,vec j,vec k],[u_x,u_y,u_z],[v_x,v_y,v_z]]| + |[[vec i,vec j,vec k],[u_x,u_y,u_z],[w_x,w_y,w_z]]|

= vec i |[[v_y,v_z],[u_y,u_z]]| - vec j |[[v_x,v_z],[u_x,u_z]]| + vec k |[[v_x,v_y],[u_x,u_y]]| + vec i |[[w_y,w_z],[u_y,u_z]]| - vec j |[[w_x,w_z],[u_x,u_z]]| + vec k |[[w_x,w_y],[u_x,u_y]]|

= vec i (u_z v_y - u_y v_z) - vec j (u_z v_x - u_x v_z) + vec k (u_y v_x - u_x v_y) + vec i (u_z w_y - u_y w_z) - vec j (u_z w_x - u_x w_z) + vec k (u_y w_x - u_x w_y)

= vec i (u_z v_y - u_y v_z + u_z w_y - u_y w_z) - vec j (u_z v_x - u_x v_z + u_z w_x - u_x w_z) + vec k (u_y v_x - u_x v_y + u_y w_x - u_x w_y)

= vec i (u_z (v_y + w_x) - u_y (v_z + w_z)) - vec j (u_z (v_x + w_x) - u_x (v_z + w_z)) + vec k (u_y (v_x + w_x) - u_x (v_y + w_y))

Passo 4

Como as expansões dos produtos vetoriais são iguais. Então, demonstramos que

(vec v + vec w) xx vec u = (vec v xx vec u) + (vec w xx vec u)

Resposta

(vec v + vec w) xx vec u = (vec v xx vec u) + (vec w xx vec u)

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Sejam os vetores u → = 1 ,- 2 ,1 ,v → = ( 1 ,1 ,1 ) e w → = ( 1 ,0 ,- 1 ) .b) Utilizar o produto vetorial para mostrar que o produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo ao terceiro vetor.
Se vec u = 3 vec i - vec j - 2 vec k , vec v = 2 vec i + 4 vec j - vec k e vec w = - vec i + vec k , determinar:c)(vec u xx vec w) + ( vec w xx vec u )
Se vec u = 3 vec i - vec j - 2 vec k , vec v = 2 vec i + 4 vec j - vec k e vec w = - vec i + vec k , determinar:e) (vec u - vec v) xx vec w
Se vec u = 3 vec i - vec j - 2 vec k , vec v = 2 vec i + 4 vec j - vec k e vec w = - vec i + vec k , determinar:| vec u xx vec u |
Se vec u = 3 vec i - vec j - 2 vec k , vec v = 2 vec i + 4 vec j - vec k e vec w = - vec i + vec k , determinar:f) (vec u xx vec v) xx vec w