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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 2.1 - Ex. 40

Prove que os pontos x 1 , y 1 , x 2 , y 2 e x 3 , y 3 são colineares se, e só se,

x 1 x 2 x 3       y 1 y 2 y 3       1 1 1 = 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Como os pontos x 1 , y 1 , x 2 , y 2 e x 3 , y 3 são colineares, podemos dizer que:

y 3 - y 1 y 2 - y 1 = x 3 - x 1 x 2 - x 1

Fazendo “meios pelos extremos”, temos que:

y 3 - y 1 x 2 - x 1 = y 2 - y 1 x 3 - x 1

x 2 y 3 - x 1 y 3 - x 2 y 1 + x 1 y 1 = x 3 y 2 - x 1 y 2 - x 3 y 1 + x 1 y 1

x 1 y 2 - y 3 - x 2 y 1 - y 3 + x 3 y 1 - y 2 = 0

Passo 2

Agora vamos fazer o determinante da matriz fornecida:

det ⁡ x 1 x 2 x 3       y 1 y 2 y 3       1 1 1 = 0

x 1 y 2 + y 1 x 3 + x 2 y 3 - x 3 y 2 - y 3 x 1 - x 2 y 1 = 0

Expandindo este determinante, temos que:

x 1 y 2 - y 3 + x 2 y 3 - y 1 + x 3 y 1 - y 2 = 0

Fica então provado que são colineares.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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