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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 2.1 - Ex. 36

Mostre que

d e t ( A ) = (1)/(2) [[[t r (A)],[t r (A^2)]] [[1],[t r (A)]]]

para qualquer matriz A de tamanho 2 xx 2 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Precisamos mostrar que:

d e t ( A ) = (1)/(2) [[[t r (A)],[t r (A^2)]] [[1],[t r (A)]]]

Para qualquer matriz A de tamanho 2 xx 2 .

Lembrando que, se a matriz é quadrada, o traço de A , representado por t r (A) é definido como a soma das entradas da diagonal principal de A ;

Ou seja, para a matriz:

A = [[[a],[c]] [[b],[d]]]

Temos que:

t r (A) = a + d

Passo 2

Para A^2 , temos que:

A^2 = [[[a],[c]] [[b],[d]]] [[[a],[c]] [[b],[d]]]

A^2 = [[[a^2 + b c],[a c + c d]] [[a b + b d],[b c + d^2]]]

Portanto:

t r (A^2) = (a^2 + b c) + (b c + d^2)

t r (A^2) = a^2 + d^2 + 2 b c

Portanto, temos que:

d e t ( A ) = (1)/(2) [[[a + d],[a^2 + d^2 + 2 b c]] [[1],[a + d]]]

det (A) = (1)/(2) [ (a + d) (a + d) - ( a^2 + d^2 + 2 b c )

det (A) = (1)/(2) [a^2 + 2 a d + d^2 - a^2 - d^2 - 2 b c]

det ( A ) = (1)/(2) [2 (a d - b c)]

det ( A ) = a d - b c

Como:

A = [[[a],[c]] [[b],[d]]]

E seu determinante realmente é conhecido e dado por:

det A = a d - b c

Temos que a equação do enunciado é verdadeira.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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