Se A , B in M_n ( R ) e se A B = B A , prove que:

A) (A - B)^2 = A^2 - 2 A B + B^2

B) (A - B) (A + B) = A^2 - B^2

C) (A - B) (A^2 + A B + B^2) = A^3 - B^3

Passo 1

Para provar a letra A vamos partir do (A - B)^2 , beleza?

(A - B)^2 = A . A - A B - B A + B . B

Como no enunciado diz que A B = B A , vamos usar essa informação aqui:

(A - B)^2 = A . A - A B - A B + B . B

E isso é a mesma coisa que,

(A - B)^2 = A^2 - 2 A B + B^2

Tcharãn!!!

Vamos agora pra letra B.

Passo 2

Para provar a letra B, vamos usar a propriedade A + B = B + A , show de bola?

(A + B) (A - B) = (A + B) A + ( A + B ) ( - B )

Fazendo as continhas, teremos

(A + B) (A - B) = A . A + B A - A B - B . B

Usando a informação que nos foi dada no enunciado A B = B A

(A + B) (A - B) = A . A + A B - A B - B . B

E assim,

(A + B) (A - B) = A^2 - B^2

Tcharããn de novo!

Passo 3

Para provar a letra C seguiremos a mesma ideia da letra A e letra B.

(A - B) (A^2 + A B + B^2) = A . A^2 + A . A . B + A . B^2 - B . A^2 - B . A . B - B . B^2

Novamente iremos utilizar a informação que foi dada no exercício A B = B A para arrumar a equação. Ficará assim,

(A - B) (A^2 + A B + B^2) = A A^2 + A^2 B + A B^2 - A^2 B - A B^2 - B B^2

Cortando tudo que podemos cortar teremos

(A - B) (A^2 + A B + B^2) = A^3 - B^3

Tcharãããããn!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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