Seja J n a matriz n × n com todas as entradas iguais a 1 . Mostre que se n   >   1 , então

I - J n - 1 = I - 1 n - 1 J n

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que mostrar que:

I - J n - 1 = I - 1 n - 1 J n

Se n > 1 .

O exercício nos disse que J n é uma matriz n × n com todas as entradas iguais a 1 . Ou seja:

J n = 1 ⋯ 1 ⋮ ⋱ ⋮ 1 ⋯ 1

Então:

J n 2 i j = ∑ k = 1 n J n i k ⋅ J n k j = ∑ n = 1 n 1 ⋅ 1 = n

Portanto:

J n 2 = n ⋯ n ⋮ ⋱ ⋮ n ⋯ n = n 1 ⋯ 1 ⋮ ⋱ ⋮ 1 ⋯ 1 = n ⋅ J n

Passo 2

Sabendo disso, vamos desenvolver a equação do enunciado:

1 I - J n = I - 1 n - 1 J n

1 = I - 1 n - 1 J n I - J n

Resolvendo, temos que:

I 2 - I n - 1 J n - I J n + 1 n - 1 J n 2 = 1

Como I = 1 , temos que:

I - 1 n - 1 J n - J n + 1 n - 1 n J n = 1

I - 1 n - 1 J n - J n + n n - 1 J n = 1

Podemos dizer que:

n n - 1 J n = n - 1 + 1 n - 1 J n

n n - 1 J n = J n + 1 n - 1 J n

Portanto:

I - 1 n - 1 J n - J n + J n + 1 n - 1 J n = 1

Passo 3

Similarmente, temos que:

I = 1 = I - 1 n - 1 J n I - J n

Se A for uma matriz quadrada e se for possível encontrar uma matriz B do mesmo tamanho, A B = B A = I , então é dito que A é invertível e B é a inversa de A .

Portanto:

I - J n - 1 = I - 1 n - 1 J n

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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