Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.2 - Ex. 19b
Prove que:
b) Se A é equivalente por linhas a B, então B é equivalente por linhas a A (simetria).
Passo 1
Primeiro, vamos começar pela definição de equivalência por linhas:
Uma matriz A é equivalente por linhas a uma matriz B se B pode ser obtida aplicando-se operações elementares sobre as linhas da matriz A.
Passo 2
Sabemos que as operações elementares são:
Permutar duas linhas de uma matriz;
Multiplicar uma linha da matriz por um escalar não nulo;
Somar uma linha da matriz a outra linha multiplicada por um escalar não nulo.
Todas essas operações possuem operações inversas a elas:
Permutar novamente as duas linhas;
Multiplicar a linha da matriz pelo inverso do escalar ();
Somar uma linha da matriz a outra multiplicada pelo escalar negativo (-).
Dessa forma, é possível realizar o caminho e também o caminho .
Resposta
As operações elementares possuem operações inversas a elas que permitem que se consiga obter tanto B a partir de A, quanto A a partir de B.