Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.2 - Ex. 21b
Sejam A uma matriz mxn e B 0 uma matriz mx1.
b) Seja solução particular do sistema AX = B. Mostre que toda solução X do sistema AX = B pode ser escrita como X = + Y, em que Y é uma solução do sistema homogêneo associado, AX = 0. Assim, a solução geral do sistema AX = B é a soma de uma solução particular de AX = B com a solução geral do sistema homogêneo associado AX = 0.
Passo 1
Seja X’ uma variável que representa toda solução possível para o sistema AX = B.
Sabendo que é uma das soluções de AX = B, podemos escrever X’ como:
X’ = + (X’ – )
Pois + (X ’–) = + X’ = 0 + X’ = X’.
Passo 2
Analisando agora o sistema homogêneo:
AX = 0
X’ – é solução desse sistema, visto que:
A(X’–) = AX’ – A
Como tanto X’ quanto são soluções de AX = B, então AX’ = B e A = B, logo:
A(X’ – ) = AX’ – A = B – B
Assim:
A(X’ – ) = 0
Passo 3
Retornando ao passo 1:
X’ = + (X’ – )
Em que X’ é uma variável que representa toda solução possível para o sistema AX = B.
Realizando a mudança das variáveis para as variáveis dadas na questão:
X é toda solução do sistema AX = B, ou seja, X = X’.
Y é solução do sistema homogêneo AX = 0.
X’ = + (X’ – ) X = + Y
Resposta
X = + Y