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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 39a

Sejam U = ( u 1 , u 2 , u 3 ) , V = ( v 1 , v 2 , v 3 ) e W = ( w 1 , w 2 , w 3 ) . Prove a fórmula seguinte para o produto vetorial duplo

U × V × W = U ⋅ W V - U ⋅ V W ,

Seguindo os seguintes passos:

a) Prove que

U × i → × j → = U ⋅ j →   i → - U ⋅ i →   j →

U × j → × k → = U ⋅ k →   j → - U ⋅ j →   k →

U × k → × i → = U ⋅ i →   k → - U ⋅ k →   i →

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Demonstrar estas expressões é um trabalho braçal de expandir os produtos vetoriais no lado direito e identificar as relações para os produtos internos do lado direito! Belezinha? Vamos usar as seguintes definições:

A × B = i ^ j ^ k ^ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3           ( 1 )

E também que:

A ⋅ B = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3           ( 2 )

Bora começar!

Passo 2

A primeira expressão é a seguinte:

U × i → × j → = U ⋅ j →   i → - U ⋅ i →   j →

Se lembrarmos que i → × j → = k → , temos o produto vetorial U × k → , isso nos dá:

U × k → = i ^ j ^ k ^ u 1 u 2 u 3 0 0 1 = u 2   i ^ - u 1   j ^

Vamos analisar o lado direito da equação agora, beleza?

Passo 3

Primeira coisa que vale a pena lembrar e que facilitará a nossa vida! Temos os seguintes vetores:

i → = 1,0 , 0     e   j → = 0,1 , 0

Portanto:

U ⋅ i → = u 1   e   U ⋅ j → = u 2

Ou seja, temos que:

U ⋅ j →   i → - U ⋅ i →   j → = u 2   i → - u 1   j →

A primeira expressão foi demonstrada, só precisamos fazer a mesma coisa para as outras duas! E a alternativa já era! O processo é bem análogo, vamos fazer as duas de uma só vez! Saca só!

Passo 4

Temos:

U × j → × k → = U ⋅ k →   j → - U ⋅ j →   k →

e

U × k → × i → = U ⋅ i →   k → - U ⋅ k →   i →

Usando que j → × k → = i → e k → × i → = j → , temos os seguintes produtos vetoriais:

U × i → = i ^ j ^ k ^ u 1 u 2 u 3 1 0 0 = u 3   j ^ - u 2   k ^

e

U × k → = i ^ j ^ k ^ u 1 u 2 u 3 0 1 0 = u 1   k ^ - u 3   i ^

Para os lados direitos, temos que como k → = 0,0 , 1 , i → = 1,0 , 0   e   j → = ( 0,1 , 0 ) , e portanto, temos:

U ⋅ i → = u 1 ,   U ⋅ j → = u 2   e   U ⋅ k → = u 3  

De forma que:

U ⋅ k →   j → - U ⋅ j →   k → = u 3   j → - u 2   k →

E

U ⋅ i →   k → - U ⋅ k →   i → = u 1   k → - u 3   i →

Aí está! Está é a primeira alternativa! Bora para a próxima!

Resposta

Ao longo dos passos!

Exercícios de Livros Relacionados

Dados os vetores u →=( 2,2 , 4 ) e v →=( 1,1 , 0 ) , determine uma base ortonormal positiva tal que seu primeiro vetor seja paralelo a u → e seu segundo vetor seja uma combinação linear de u → e v → .
Já sabemos que a área do triângulo A B C da figura é A=1 2 | u →∧ v → | . A área do triângulo A B C também é dada por 1 2 | u →∧ w → | ? Justifique sua resposta (a) geometricamente; (b) algebricamente
B=( u → ,v → ,w → ) é uma base ortonormal positiva.Determine u → , sabendo que ele é paralelo ao vetor ( 2 , - 1,2 ) .Determine v → , sabendo que é da forma ( x , y , 0 ) .Determine a que w → .
Construa uma base ortonormal positiva ( u → ,v → ,w → ) tal que u → seja paralelo a ( 1,2 , 2 ) e v → paralelo a ( 2,0 , - 1 ) .
Determine a , b e K → para que C=( 1 3( 1 , - 1,1 ) ;( 0 , a , b ) ;K → ) seja uma base ortonormal positiva.