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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 12.Exercício - Ex. 18b

Prove que:

(b) [vec u ^^ vec v , vec w ^^ vec t , vec x] = |[[[vec u , vec w , vec t],vec u,.,vec x],[[vec v , vec w , vec t],vec v,.,vec x]]|

Passo 1

Bora lá!

Para essa questão, vamos usar a definição de produto misto e a fómula do duplo produto vetorial, beleza?

Começando pela definição de produto misto, temos:

[vec u ^^ vec v , vec w ^^ vec t , vec x] = ((vec u ^^ vec v) ^^ (vec w ^^ vec t)) . vec x ( 1 )

Já pela fórmula do duplo produto vetorial:

(vec u ^^ vec v) ^^ (vec w ^^ vec t) = - (vec v . vec w ^^ vec t) . vec u + (vec u . vec w ^^ vec t) . vec v

(vec u ^^ vec v) ^^ (vec w ^^ vec t) = - (vec v ^^ vec w . vec t) . vec u + (vec u ^^ vec w . vec t) . vec v

(vec u ^^ vec v) ^^ (vec w ^^ vec t) = - [vec v , vec w , vec t] . vec u + [vec u , vec w , vec t] . vec v ( 2 )

Passo 2

Substituindo (2) em (1), temos:

[vec u ^^ vec v , vec w ^^ vec t , vec x] = ((vec u ^^ vec v) ^^ (vec w ^^ vec t)) . vec x

[vec u ^^ vec v , vec w ^^ vec t , vec x] = (- [vec v , vec w , vec t] . vec u + [vec u , vec w , vec t] . vec v) . vec x

[vec u ^^ vec v , vec w ^^ vec t , vec x] = [vec u , vec w , vec t] . (vec v . vec x) - [vec v , vec w , vec t] . (vec u . vec x)

[vec u ^^ vec v , vec w ^^ vec t , vec x] = |[[[vec u , vec w , vec t],vec u,.,vec x],[[vec v , vec w , vec t],vec v,.,vec x]]|

Notem, que as manupilações feitas são sempre para tentarmos chegar na igualdade dada no enunciado, ok?

Portanto, provamos o que foi pedido 😉.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Sejam u → e v → dois vetores LI e w → um vetor não nulo. Sendo a n g u → ,v → = φ e a n g u → ∧ v → ,w → = θ , exprima [ u → ,v → ,w → ] em função de φ ,θ e das normas dos vetores.
Sejam u → e v → vetores não-nulos respectivamente paralelos às retas r e s , P um ponto de r , Q um ponto de s . Mostre que r e s são coplanares se, e somente se, u → ,v → ,P Q → = 0 .
As arestas O A ,O B e O C do tetraedro O A B C mede, respectivamente, a ,b e c , e as medidas dos ângulos A Ô B ,B Ô C Ô Ô e C Ô A Ô , são (respectivamente) α ,β e γ . Calcule o volume do tetraedro em
A medida angular entre os vetores unitários u → e v → é 30 ° , e o vetor w → , de norma 4, é ortogonal a ambos. Sabendo que a base ( u → ,v → ,w → ) é positiva, calcule [ u → ,v → ,w → ] .
a) Prove que u → ,v → ,w → ≤ u → . v → . w → , quaisquer que sejam os vetores u → ,v → e w → .b) Prove que vale a igualdade no item (a) se, e somente se, algum dos vetores é nulo ou eles são dois a do