Prove que:

(b) [vec u ^^ vec v , vec w ^^ vec t , vec x] = |[[[vec u , vec w , vec t],vec u,.,vec x],[[vec v , vec w , vec t],vec v,.,vec x]]|

Passo 1

Bora lá!

Para essa questão, vamos usar a definição de produto misto e a fómula do duplo produto vetorial, beleza?

Começando pela definição de produto misto, temos:

[vec u ^^ vec v , vec w ^^ vec t , vec x] = ((vec u ^^ vec v) ^^ (vec w ^^ vec t)) . vec x ( 1 )

Já pela fórmula do duplo produto vetorial:

(vec u ^^ vec v) ^^ (vec w ^^ vec t) = - (vec v . vec w ^^ vec t) . vec u + (vec u . vec w ^^ vec t) . vec v

(vec u ^^ vec v) ^^ (vec w ^^ vec t) = - (vec v ^^ vec w . vec t) . vec u + (vec u ^^ vec w . vec t) . vec v

(vec u ^^ vec v) ^^ (vec w ^^ vec t) = - [vec v , vec w , vec t] . vec u + [vec u , vec w , vec t] . vec v ( 2 )

Passo 2

Substituindo (2) em (1), temos:

[vec u ^^ vec v , vec w ^^ vec t , vec x] = ((vec u ^^ vec v) ^^ (vec w ^^ vec t)) . vec x

[vec u ^^ vec v , vec w ^^ vec t , vec x] = (- [vec v , vec w , vec t] . vec u + [vec u , vec w , vec t] . vec v) . vec x

[vec u ^^ vec v , vec w ^^ vec t , vec x] = [vec u , vec w , vec t] . (vec v . vec x) - [vec v , vec w , vec t] . (vec u . vec x)

[vec u ^^ vec v , vec w ^^ vec t , vec x] = |[[[vec u , vec w , vec t],vec u,.,vec x],[[vec v , vec w , vec t],vec v,.,vec x]]|

Notem, que as manupilações feitas são sempre para tentarmos chegar na igualdade dada no enunciado, ok?

Portanto, provamos o que foi pedido 😉.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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