Enunciado

Suponha que x 1 = - 1 ,     x 2 = 2 ,     x 3 = 4 ,     x 4 = - 3       seja uma solução de um sistema linear não homogêneo A x = b e que o conjunto solução do sistema homogêneo A x = 0 seja dado pela fórmulas

x 1 = - 3 r + 4 s ,     x 2 = r - s ,     x 3 = r ,     x 4 = s

(a) Encontre a forma vetorial da solução geral de A x = 0 .

(b) Encontre a forma vetorial da solução geral de A x = b .

Passo 1

Olá!! Tudo bem? Nesta questão precisamos encontrar a forma vetorial da solução geral de A x = 0 e A x = b .

(a) Primeiro para A x = 0 .

Sabemos que x 1 = - 3 r + 4 s ,     x 2 = r - s ,     x 3 = r ,     x 4 = s é o conjunto solução do sistema homogêneo A x = 0 pelo enunciado.

Se você reparar podemos reescrever isso na forma matricial ou vetorial. Ficaria com essa carinha:

x 1 x 2 x 3 x 4 = - 3 r + 4 s r - s r s = r - 3 1 1 0 + s 4 - 1 0 1

Arrumando, temos

A = r - 3 1 1 0 + s 4 - 1 0 1

Tcharãn, temos a forma vetorial do sistema homogêneo A x = 0 !! Foi só questão de “arrumar” os dados que foram dados pra gente no enunciado, beleza?!

Passo 2

(b) Sabemos que x 1 = - 1 ,     x 2 = 2 ,     x 3 = 4 ,     x 4 = - 3       é o conjunto solução do sistema homogêneo A x = b pelo enunciado.

Agora vou te dar uma dica que vai salvar a sua vida!!!!!

Seguuuura ela:

A solução geral do sistema não-homogêneo mais a solução geral do sistema homogêneo, A x = 0 , nos dá a solução geral do sistema não-homogêneo. Beleza? Então é só juntar as duas informações: a do enunciado e a mesma carinha que usamos na letra (a).

Assim, ficamos com

x 1 x 2 x 3 x 4 = - 1 2 4 - 3 + r - 3 1 1 0 + s 4 - 1 0 1

Show de bola?!

Resposta

(a) A = r - 3 1 1 0 + s 4 - 1 0 1

(b) A = - 1 2 4 - 3 + r - 3 1 1 0 + s 4 - 1 0 1

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Em cada parte, determine se b → está no espaço coluna de A e, se estiver, expresse b → como combinação linear dos vetores de A A = 1 1 2 1 0 1 2 1 3 ;b → = - 1 0 2
Identifique os vetores linhas e os vetores coluna da matriz: 2 - 1 0 1 3 5 7 - 1 1 4 2 7
Em cada parte, determine se b → está no espaço coluna de A e, se estiver, expresse b → como combinação linear dos vetores de A A = 1 1 - 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 ;b → = 2 0 0
Em cada parte, determine se b → está no espaço coluna de A e, se estiver, expresse b → como combinação linear dos vetores de A A = 1 0 1 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 1 3 2 ;b → = 4 3 5 7
Em cada parte, determine se b → está no espaço coluna de A e, se estiver, expresse b → como combinação linear dos vetores de A A = 1 9 2 - 1 3 1 1 1 1 ;b → = 5 1 - 1