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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 1.4 - Ex. 16

Uma rede de comunicação tem cinco locais com transmissores de potências distintas. Estabelecemos que a i j = 1 , na matriz abaixo, significa que a estação i pode transmitir diretamente à estação j , a i j = 0 significa que a transmissão da estação i não alcança a estação j . Observe que a diagonal principal é nula significando que uma estação não transmite diretamente para si mesma.

A = 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0         1 1 1 0 1 0 1 0 1 0

Qual seria o significado da matriz A 2 = A ⋅ A ?

Seja A 2 = c i j . Calculemos o elemento c 42 = ∑ k = 1 5 a 4 k a k 2 = 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 1 .

Note que a única parcela não nula veio de a 43 ⋅ a 32 = 1 ⋅ 1 . Isto significa que a estação 4 transmite para a estação 2 através de uma retransmissão pela estação 3 , embora não exista uma transmissão direta de 4 para 2.

  1. Calcule A 2 .
  2. Qual o significado de c 13 = 2 ?
  3. Discuta o significado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de modo a justificar a afirmação: “A matriz A 2 representa o número de caminhos disponíveis para se ir de uma estação a outra com uma única retransmissão”.
  4. Qual o significado das matrizes A + A 2 , A 3 e A + A 2 + A 3 ?
  5. Se A fosse simétrica, o que significaria?

Passo 1

  1. Vamos calcular A 2 , para calcular a multiplicação de matrizes pegamos cada linha da primeira matriz com cada coluna da segunda e multiplicamos cada elemento com seu par e somamos, vamos mostrar o passo a passo do primeiro elemento, assim:

    2. A 2 = 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0         1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 ⋅ 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0         1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 =

    = 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 1 2 0 2 2 1 0 0 0 1 0 2 0 1         3 1 2 2 1 2 0 1 0 1 = 0 + 1 + 0 + 0 + 0 1 2 0 2 2 1 0 0 0 1 0 2 0 1         3 1 2 2 1 2 0 1 0 1 =

    = 1 1 2 0 2 2 1 0 0 0 1 0 2 0 1         3 1 2 2 1 2 0 1 0 1

    Passo 2

  2. c 13 = 2 significa que a estação 1 transmite para a estação 3 através de uma terceira de dois modos, através da estação 2 e da estação 4 .

    3. Passo 3

  3. Cada elemento de A 2 representa o número de modos que uma estação transmite para uma outra estação através de uma terceira estação.

    4. Passo 4

  4. Cada elemento de A + A 2 representa a soma do número de modos que uma estação transmite para uma outra estação, diretamente e através de uma terceira estação para uma outra.

    5. Cada elemento de A 3 representa o número de modos que uma estação transmite para uma outra através de uma quarta estação.

    E cada elemento de A + A 2 + A 3 representa a soma do número de modos que uma estação transmite para outra estação, diretamente, através de uma terceira e de uma quarta.

    Passo 5

  5. Se A fosse simétrica, isto é, a i j = a j i , isso significaria que a estação i transmite para a estação j sempre que a estação j transmite para a estação i .

Resposta

  1. A 2 = 1 1 2 0 2 2 1 0 0 0 1 0 2 0 1         3 1 2 2 1 2 0 1 0 1
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Determine todas as matrizes A, 2x2, diagonais (os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero) que comutam com toda matriz B, 2x2, ou sejam tais que AB = BA, para toda matriz B, 2x2.
Mostre que a matriz identidade I n é a única matriz tal que A I n =I n A = A para qualquer A, nxn.
Sejam A e B matrizes mxp e pxn, respectivamente.b) Mostre que a i-ésima coluna do produto AB é igual ao produto A i B , em que A i = a i 1 … a i p é a i-ésima linha de A, ou seja, se A =A 1 A 2 ⋮ A m
Seja A uma matriz mxn e X =x 1 ⋮ x n uma matriz nx1. Prove que AX = ∑ j = 1 n x j A j , em que A j é a j-ésima coluna de A.
Considere as seguintes matrizes:A = - 3 2 1 1 2 - 1 , B = 2 - 1 2 0 0 3 , C = - 2 1 - 1 0 1 1 - 1 0 1 , D = d 1 0 0 0 d 2 0 0 0 d 3 E 1 = 1 0 0 , E 2 = 0 1 0 , E 3 = 0 0 1 Verifique que:f) Escrevendo