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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 26.Problemas - Ex. 5

Complete os quadrados e decida para quais valores de k a equação x ²   +   y ²   +   z ²   +   x   +   2 y   +   3 z   +   k =   0 define um ponto, uma esfera ou o conjunto vazio?

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos completando o quadrado da expressão:

x ² +   y ²   +   z ²   +   x   +   2 y   +   3 z   +   k =   0

Para isso vamos adicionar o termo 9 4 durante o processo de completar quadrado em Z.

x 2 + x +   y 2 + 2 y +   z 2 +   3 z   =   x 2 + x +   y 2 + 2 y +   z 2 +   3 z + 9 4 - 9 4

x 2 + x +   y 2 + 2 y - 9 4 + (   z 2 +   3 z + 9 4 ) =   x 2 + x +   y 2 + 2 y - 9 4 + (   z + 3 2 ) ²

Para completar quadrados em x vou adicionar o termo   1 4

  x 2 + x +   y 2 + 2 y - 9 4 +   z + 3 2 2 =   x 2 + x +   y 2 + 2 y - 9 4 +   z + 3 2 2 + 1 4 - ( 1 4 )

  y 2 + 2 y +   z + 3 2 2 - 5 2 + x 2 + x + 1 4 =     y 2 + 2 y - 5 2 +   z + 3 2 2 + ( x + 1 2 ) ²

Vamos terminar no próximo passo?

Bora lá então!

Passo 2

Para completar quadrados em y   vou adicionar o termo   1 :

y 2 + 2 y +   z + 3 2 2 - 7 2 + x 2 + 1 2 2 + 1 - 1 =   y 2 + 2 y + 1 - 7 2 +   z + 3 2 2 + ( x + 1 2 ) ²

y 2 + 2 y +   z + 3 2 2 - 7 2 + x 2 + 1 2 2 + 1 - 1 =   y 2 + 1 ² - 7 2 +   z + 3 2 2 + ( x + 1 2 ) ²

Até aí tranquilo?

Calma agora ficou fácil pois temos a expressão:

  y + 1 2 - 7 2 +   z + 3 2 2 + x + 1 2 2 = - k

Agora temos que decidir os valores de K

Passo 3

Para se obtermos um ponto , ou seja (   x ,   y ) temos que:

  y + 1 2 - 7 2 +   z + 3 2 2 + x + 1 2 2 = - k

z + 3 2 =   0   ; z =   - 3 2 , sendo x + y ≠   - 3

Para se obtermos uma esfera , ou seja (   x ,   y ,   z   ) temos que:

  y + 1 2 +   z + 3 2 2 + x + 1 2 2 ≠   + 7 2

Para se obtermos um conjunto vazio temos que:

z + 3 2 =   0   ; z =   - 3 2 , sendo x + y =   - 3

Lembrando que essa é uma possibilidade de resposta pois existem diversas condições de existências para as combinações destas equações.

Temos agora a equação paramétrica da hipérbole dada por:

s e c ² θ a ² - t g ² θ b ² =   1  

Vamos escrever o domínio então!

Não podemos esquecer que θ   ≠ π 2 , lembrando disso o domínio pode ser escrito como:

D   = {   θ   ϵ   R   |   0   ≤   θ < 2 π   }

Vamos obter os focos utilizando a relação pitagórica descrita como:

C 2 =   a 2 + b ²

Lembrando que a   = x . c o s θ   e   b = x . c o s θ  

C 2 =   ( x . c o s θ   ) 2 + ( x . c o s θ )   ²

C =   ( x . c o s θ   ) 2 + ( x . c o s θ )   ²

Logo podemos escrever os focos desta hipérbole como

F = ( ± ( x . c o s θ   ) 2 + ( x . c o s θ )   ² ,   0   )

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

D   = {   θ   ϵ   R   |   0   ≤   θ < 2 π   }

F = ( ± ( x . c o s θ   ) 2 + ( x . c o s θ )   ² ,   0   )

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