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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 22

Prove que as equações abaixo descrevem paraboloides elípticos e esboce-os.

x = y 2 a 2 + z 2 b 2

x = - y 2 a 2 - z 2 b 2

y = x 2 a 2 + z 2 b 2

y = - x 2 a 2 - z 2 b 2

z = - x 2 a 2 - y 2 b 2

Passo 1

Então, vamos verificar que todas as equações são paraboloides. A nossa referença será a equação:

z = x 2 a 2 + y 2 b 2

Sabemos que ela é um paraboloide elíptico, se a ≠ b , e com eixo de simetria O z . Para todas as outras, vamos sempre impor que a ≠ b e vamos fazer mudanças nos sistemas de coordenadas para verificar o que aconteceu com a nossa quádrica.

Nossa primeira equação a ser analisada é:

z = - x 2 a 2 - y 2 b 2

Cujo eixo de simetria é O z . A única mudança em relação a nossa referência foi o sinal negativo no segundo membro. Em termos de coordenadas, fizemos a seguinte mudança:

x = x y = y z = - z

Em termos de esboço do gráfico, o sistema acima significa uma reflexão em torno do plano O x y . Portanto, temos o seguinte esboço:

Passo 2

Agora, vamos fazer a análise em relação aos paraboloides cujo eixo de simetria é o O x (basta procurar as equações que tem o termo x ).

Começando por x = y 2 a 2 + z 2 b 2 . Se fizermos interseções com os planos x = α , α > 0 , temos elipses (o que caracteriza o nome). Em comparação com o nosso sistema de referência, temos a seguinte mudança no sistema de coordenadas:

x = y y = z z = x

Tudo confuso, né? A primeira coluna são as coordenadas originais, já a segunda são as novas coordenadas. Conseguimos este sistema fazendo uma rotação de 90 graus no sentido anti horário do eixo O z e depois uma rotação de 90 graus no sentido horário em torno de O x . Assim, iremos obter o seguinte esboço:

Agora, analisaremos x = - y 2 a 2 - z 2 b 2 . Continuamos com um paraboloide elíptico, pois as interseções com x = β , β < 0 nos dão elipses.

A única mudança em relação ao sistema de coordenadas foi fazer z = - x ao invés de z = x . O gráfico será uma reflexão do gráfico que fizemos anteriormente em torno do plano O y z . Portanto, temos:

Passo 3

Agora, vamos fazer a análise em relação aos paraboloides cujo eixo de simetria é o O y (basta procurar as equações que tem o termo y ).

Começando por y = x 2 a 2 + z 2 b 2 . Se fizermos interseções com os planos y = α , α > 0 , temos elipses (o que caracteriza o nome). Em comparação com o nosso sistema de referência, temos a seguinte mudança no sistema de coordenadas:

x = x y = z z = y

Tudo confuso, né? A primeira coluna são as coordenadas originais, já a segunda são as novas coordenadas. Conseguimos este sistema fazendo uma rotação de 90 graus no sentido horário do eixo O x . Assim, iremos obter o seguinte esboço:

Agora, analisaremos y = - x 2 a 2 - z 2 b 2 . Continuamos com um paraboloide elíptico, pois as interseções com y = β , β < 0 nos dão elipses.

A única mudança em relação ao sistema de coordenadas foi fazer z = - y ao invés de z = y . O gráfico será uma reflexão do gráfico que fizemos anteriormente em torno do plano O x z . Portanto, temos:

Resposta

A prova do paraboloide elíptico é feita comparando com a equação de referência e fazendo interseções com planos cujo resultado são elipses.

Em relação ao esboço, começando por z = - x 2 a 2 - y 2 b 2 , temos:

Para x = y 2 a 2 + z 2 b 2 , temos:

Para x = - y 2 a 2 - z 2 b 2 , temos:

Para y = x 2 a 2 + z 2 b 2 , temos:

Para y = - x 2 a 2 - z 2 b 2 , temos:

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