Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 25
Prove que, se [respectivamente, ], a quádrica é um paraboloide elíptico [respectivamente, de rotação] de vértice e eixo de simetria .
Passo 1
Provar que a quádrica consiste em um paraboloide (elíptico ou de rotação), consiste, basicamente, em colocar a quádrica na sua forma reduzida.
Para fazermos isto, vamos ter de mudar o sistema de coordenadas, fazer uma translação. Vamos mudar a origem do sistema de para . Para fazermos esta mudança, temos o seguinte sistema:
Fazendo esta mudança na equação da quádrica, temos:
E, como já foi provado na questão 25-22, temos um paraboloide elíptico (isto, claro, se ).
Se fizermos , vamos ter a seguinte relação:
Se dissermos que e , temos:
O que consiste na equação de uma circunferência. Se a interseção de uma quádrica resultar uma circunferência, temos uma quádrica de rotação!
Portanto, acabamos de provar a primeira parte da questão.
Passo 2
Agora, vamos verificar o seu eixo de simetria. Vamos obter, primeiramente, para o paraboloide obtido após a translação. Isto é:
O eixo de simetria será exatamente o eixo . Portanto,
No novo sistema, , visto que é a origem. Além disto, o vetor diretor continuou , pois a nossa mudança do sistema de coordenadas foi apenas na origem, e não na base!!!
Para finalizarmos, queremos provar que o eixo de simetria é . E esta reta está bem parecida com o nosso , a diferenciar apenas do ponto.
Mas será que são diferentes mesmo? Percebam que as coordenadas de no sistema antigo é exatamente . Portanto, as coordenadas da reta , eixo de simetria do paraboloide, no sistema antigo, é dada por:
E assim, terminamos de provar o que a questão nos pediu!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)