Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 31
Prove que são selas as quádricas descritas pelas equações
Passo 1
Então, vamos verificar que todas as equações são paraboloides hiperbólicos. A nossa referência será a equação:
Sabemos que ela é um paraboloide hiperbólico com eixo de simetria . Agora, nossa primeira equação a ser analisada é:
Cujo eixo de simetria continua sendo é (basta ver a variável independente). A única mudança em relação a nossa referência foi o sinal negativo no segundo membro. Em termos de coordenadas, fizemos a seguinte mudança:
Em termos de esboço do gráfico, o sistema acima significa rotação de 90° em torno de . Além disto, ao analisarmos a posição da montaria, a única mudança foi que ela virou de lado. A frente da montaria ficou na direção do eixo que contém o sinal positivo. Neste caso, foi o eixo .
Entretanto, esta não é a única forma de visualizarmos a mudança do paraboloide. Também poderíamos ter feito a seguinte mudança:
O que caracterizaria colocar o nosso paraboloide de “cabeça para baixo”.
Passo 2
Agora, vamos fazer a análise em relação aos paraboloides cujo eixo de simetria é o (basta procurar as equações que tem o termo ).
Começando por . Em comparação com o nosso sistema de referência, temos a seguinte mudança no sistema de coordenadas:
Cujo eixo de simetria continua sendo é . Em termos de esboço do gráfico, o sistema acima significa rotação de 90° em torno de seguida de uma rotação de 90° em torno do novo .
Além disto, ao analisarmos a posição da montaria, a sua cabeça estará voltada para a direção positiva do eixo . A frente da montaria ficou na direção do eixo que contém o sinal positivo. Neste caso, foi o eixo .
Agora, analisaremos . Continuamos com um paraboloide hiperbólico. A diferença deste paraboloide para o anterior é a direção que fica a montaria. Neste caso, a frente da montaria fica na direção do eixo .
Passo 3
Agora, vamos fazer a análise em relação aos paraboloides cujo eixo de simetria é o (basta procurar as equações que tem o termo ).
Começando por . Em comparação com o nosso sistema de referência, temos a seguinte mudança no sistema de coordenadas:
Cujo eixo de simetria continua sendo é . Em termos de esboço do gráfico, o sistema acima significa rotação de 90° em torno de .
Além disto, ao analisarmos a posição da montaria, a sua cabeça estará voltada para a direção positiva do eixo . A frente da montaria ficou na direção do eixo que contém o sinal positivo. Neste caso, foi o eixo .
Agora, analisaremos . Continuamos com um paraboloide hiperbólico. A diferença deste paraboloide para o anterior é a direção que fica a montaria. Neste caso, a frente da montaria fica na direção do eixo .
Resposta
O sinal positivo do segundo membro indica a direção que contém a frente da montaria.