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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 13b

Repita o Exercício 12, mas dessa vez pare quando todas as entradas correspondentes em duas aproximações sucessivas de autovalores diferirem por menos de 0,01 em valor absoluto.

Passo 1

Vamos determinar o vetor inicial aleatoriamente:

1 1 1 1

LLogo

A x 0 = 1 0 1 1 0 2 - 1 1 1 - 1 4 1 1 1 1 8 1 1 1 1 = 3 2 5 11                                                 x 1 = A x 0 | A x 0 | = 1 12,6095 . 3 2 5 11 ≈ 0,2379 0,1586 0,3965 0,8724

A x 1 = 1 0 1 1 0 2 - 1 1 1 - 1 4 1 1 1 1 8 0,2379 0,1586 0,3965 0,8724 = 1,5068 0,7931 2,5378 7,7719                                       x 2 = 1 8,3512 . 1,5068 0,7931 2,5378 7,7719 ≈ 0,1667 0,0962 0,2629 0,9306

A x 2 = 1 0 1 1 0 2 - 1 1 1 - 1 4 1 1 1 1 8 0,1667 0,0962 0,2629 0,9306 = 1,4149 0,8167 2,2316 8,0244                                 x 3 = 1 8,4876 . 1,4149 0,8167 2,2316 8,0244 ≈ 0,1667 0,0962 0,2629 0,9454

A x 3 = 1 0 1 1 0 2 - 1 1 1 - 1 4 1 1 1 1 8 0,1667 0,0962 0,2629 0,9454 = 1,3751 0,8749 2,0676 8,0892                                   x 4 = 1 8,5069 . 1,3751 0,8749 2,0676 8,0892 ≈ 0,1616 0,1029 0,2431 0,9509

A x 4 = 1 0 1 1 0 2 - 1 1 1 - 1 4 1 1 1 1 8 0,1616 0,1029 0,2431 0,9509 = 1,3556 0,8749 1,9819 8,0244    

Passo 2

Continuaremos com

λ 1 = A x 1 . x 1 x 1 . x 1   = A x 1 T . x 1 x 1 T . x 1 = 10,868 1,314 = 8,27 04

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λ 2 = 8,47 88

λ 3 = 8,505 48

Passo 3

Para fazer o erro percentual faremos

λ 2 = λ 2 - λ 1 λ 2 = 8,479 - 8,27 8,479 = 0,025  

Assim, continuamos a aplicar a fórmula e já aplicando a porcentagem

λ 3 = λ 3 - λ 2 λ 3 = 0,003  

Resposta

O autovalor é   λ 3 .

Ver Outros Exercícios desse livro

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Em cada caso, use o método das potências com mudança de escala euclidiana para aproximar o autovalor dominante e um autovetor associado da matriz dada. Escolha seu vetor inicial e pare quando o erro p
Repita as instruções do Exercício 7 com: A = 2 1 0 1 2 0 0 0 10 ; x 0 = 1 1 1
Considere as matrizes A = - 1 0 0 0ex 0 = a b Onde x 0 é um vetor unitário e a ≠ 0 . Mostre que, embora a matriz A seja simétrica e tenha um autovalor dominante, a sequência de potência (1) no Teorema
Nos Exercícios 3-4, aplique o método das potências com mudança de escala euclidiana à matriz A , começando com x 0 e parando em x 4 . Compare a aproximação resultante com o valor exto do autovalor dom