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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.4 - Ex. 1

Seja T : P 2 → P 3 a transformação linear definida por T p x = x p x .

  1. Encontre a matriz de T em relação as bases canônicas

    2. B = u 1 ,   u 2 ,   u 3             e               B ' = { v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v 4 }

    Em que

    u 1 = 1 ,     u 2 = x ,     u 3 = x 2

    v 1 = 1 ,     v 2 = x ,     v 3 = x 2 ,     v 4 = x 3

  2. Verifique que a matriz T B ' , B obtida na parte (a) satisfaz a Fórmula (5) com qualquer vetor x = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 em P 2 .

Passo 1

Show de bola então galera, pra gente encontrar a matriz T B ' , B , precisamos encontrar cada transformação da base B e de acordo com a Fórmula (4), temos que

T B ' , B = T u 1 B ' T u 2 B ' ⋯ T u 3 B ' ]  

Passo 2

Então na letra (a), temos

T u 1 B ' = T 1 = x 1 = x

T u 2 B ' = T x = x x = x 2

T u 3 B ' = T x 2 = x x 2 = x 3

Logo

T u 1 B ' = x = 0 1 0 0

T u 2 B ' = x 2 = 0 0 1 0

T u 3 B ' = x 3 = 0 0 0 1

Portanto

T B ' , B = T u 1 B ' T u 2 B ' ⋯ T u 3 B ' ] = 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 3

Na letra (b), temos o vetor x = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 , ou x = c 0 c 1 c 2 T , logo de acordo com a Fórmula (5)

T B ' , B x B = T ( x ) B ' ⇒ 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 c 0 c 1 c 2 = 0 c 0 c 1 c 2

Portanto a matriz T B ' , B   satisfaz a Fórmula (5).

Resposta

  1. T B ' , B = 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 .
  2. Demonstração.
Ver Outros Exercícios desse livro

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Seja D :P 2→P 2 o operador de derivação D p =p ' ( x ) . Nas partes (a) e (b), encontre a matriz de D em relação à base B={ p 1 ,p 2 ,p 3 } dada.(a) p 1 =1 ,p 2 =x ,p 3 =x 2 (b) p 1 =2 ,p 2 =2 -3 x ,p
Seja B={ v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 } uma base de um espaço vetorial V . Encontre a matriz em relação a B do operador linear T:V→V definido por: T v 1 = v 2 ,T v 2 = v 3 ,T v 3 =v 4 ,T v 4 =v 1
Prove que se B e B ' forem as bases canônicas de R n e R m , respectivamente, então a matriz de uma transformação linear T:R n→R m em relação às bases B e B ’ será a matriz canônica de T .
Mostre que seT:V→V for uma contração de V (Exemplo 4 da Seção 8.1 ), então a matriz de T em relação a qualquer base de V é um múltiplo escalar positivo da matriz identidade.
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