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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 4

Repita o E x e r c í c i o   3 com o produto interno euclidiano ponderado u , v = 4 u 1 v 1 + 5 u 2 v 2 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item a:

u , v = 4 u 1 v 1 + 5 u 2 v 2

Como u = 3 , - 2 e v = 4,5 , temos que:

u , v = 4 3 ⋅ 4 + 5 - 2 ⋅ 5

u , v = 48 + - 50

u , v = - 2

Vamos encontrar agora v , u , temos que:

v , u = 4 v 1 u 1 + 5 v 2 u 2

v , u = 4 4 ⋅ 3 + 5 5 ⋅ - 2

v , u = - 2

Portanto, fica verificado que:

u , v = v , u

Passo 2

Item b:

Vamos encontrar:

u + v , w

Sabemos que:

u + v = 3 , - 2 + 4,5

u + v = 3 + 4 , - 2 + 5

u + v = 7,3

Sabendo que w = - 1,6 e aplicando o produto interno, temos que:

u + v , w = 4 7 ⋅ - 1 + 5 3 ⋅ 6

u + v , w = - 28 + 90

u + v , w = 62

Vamos calcular agora:

u , w = 4 u 1 w 1 + 5 u 2 w 2

Temos que:

u , w = 4 3 ⋅ - 1 + 5 - 2 ⋅ 6

u , w = - 12 - 60

u , w = - 72

E:

v , w = 4 v 1 w 1 + 5 v 2 w 2

Substituindo os valores, temos que:

v , w = 4 4 ⋅ - 1 + 5 5 ⋅ 6

v , w = - 16 + 150

v , w = 134

Ou seja:

u + v , w = u , w + v , w

62 = - 72 + 134

62 = 62

Passo 3

Item c:

Para o item c, temos que verificar a seguinte relação:

u , v + w = u , v + u , w

Vamos encontrar v + w :

v + w = 4.5 + - 1,6

v + w = 4 - 1,5 + 6

v + w = 3,11

Aplicando ao produto interno, temos que:

u , v + w = 4 3 ⋅ 3 + 5 - 2 ⋅ 11

u , v + w = 36 - 110

u , v + w = - 74

Vamos verificar agora os termos da igualdade. Temos que:

u , v = 4 u 1 v 1 + 5 u 2 v 2

u , v = 4 3 ⋅ 4 + 5 - 2 ⋅ 5

u , v = - 2

E:

u , w = 4 u 1 w 1 + 5 u 2 w 2

u , w = 4 3 ⋅ - 1 + 5 - 2 ⋅ 6

u , w = - 12 - 60 = - 72

Portanto:

u , v + w = u , v + u , w

- 74 = - 2 - 72

Ficando assim verificado o item c.

Passo 4

Item d:

Para o item d, queremos verificar que:

k u , v = k u , v = u , k v

Vamos trabalhar com o primeiro termo. Temos que:

k u = - 4 3 , - 2

k u = - 12,8

Logo:

k u , v = 4 - 12 ⋅ 4 + 5 8 ⋅ 5

k u , v = - 192 + 200

k u , v = 8

Agora vamos calcular k u , v . Dos itens anteriores, já sabemos que:

u , v = - 2

Portanto:

k u , v = - 4 ⋅ - 2 = 8

Temos que calcular também u , k v . Sabendo que:

k v = k 4,5

k v = - 4 4,5

k v = - 16 , - 20

Portanto:

u , k v = 4 3 ⋅ - 16 + 5 - 2 ⋅ - 20

u , k v = - 192 + 20 0

u , k v = 8

Ou seja:

k u , v = k u , v = u , k v = 8

Ficando assim verificado o item d.

Passo 5

Item e:

Para o item e, devemos verificar que:

0 , v = v , 0 = 0

Temos que:

0 = 0,0

Portanto:

0 , v = 4 0 ⋅ 4 + 5 0 ⋅ 5

0 , v = 0

Temos também que:

v , 0 = 4 4 ⋅ 0 + 5 5 ⋅ 0

Logo:

v , 0 = 0

Ou seja:

0 , v = v , 0 = 0

Ficando assim verificado o item e.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Mostre que vale a identidade dada com vetores de qualquer espeço com produto interno. u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 + 2 v 2
Sejam u = u 1 , u 2 e v = v 1 , v 2 . Em cada parte, a expressão dada é um produto interno em R 2 . Encontre a raiz que gera esse produto interno. u , v = 3 u 1 v 1 + 5 u 2 v 2 u , v = 4 u 1 v 1 + 6 u
Em cada parte, use o produto interno em R 2 dado para calcular w , com w = - 1,3 .O produto interno euclidiano.O produto interno euclidiano ponderado u , v = 3 u 1 v 1 + 2 u 2 v 2 , com u = u 1 , u 2
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Em cada parte, calcule u , v usando o produto interno do E x e m p l o6 . u = 3 4- 2 8 ,v = - 1 13 1 u = 1 - 32 5 ,v = 4 06 8