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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 3

Sejam u , v o produto interno euclidiano em R 2 e u = 3 , - 2 , v = 4,5 , w = - 1,6 e k = - 4 . Verifique as expressões dadas.

  1. u , v = v , u
  2. u + v , w = u , w + v , w
  3. u , v + w = u , v + u , w
  4. a u , v = a u , v = u , a v
  5. 0 , v = v , 0 = 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item a:

u , v = u 1 v 1 + u 2 v 2

Como u = 3 , - 2 e v = 4,5 , temos que:

u , v = 3 ⋅ 4 + - 2 ⋅ 5

u , v = 2

Vamos encontrar agora v , u , temos que:

v , u = v 1 u 1 + v 2 u 2

v , u = 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ - 2

v , u = 2

Portanto, fica verificado que:

u , v = v , u

Passo 2

Item b:

Vamos encontrar:

u + v , w

Sabemos que:

u + v = 3 , - 2 + 4,5

u + v = 3 + 4 , - 2 + 5

u + v = 7,3

Sabendo que w = - 1,6 e aplicando o produto interno, temos que:

u + v , w = 7 ⋅ - 1 + 3 ⋅ 6

u + v , w = - 7 + 18

u + v , w = 11

Vamos calcular agora:

u , w = u 1 w 1 + u 2 w 2

Temos que:

u , w = 3 ⋅ - 1 + - 2 ⋅ 6

u , w = - 3 - 12

u , w = - 15

E:

v , w = v 1 w 1 + v 2 w 2

Substituindo os valores, temos que:

v , w = 4 ⋅ - 1 + 5 ⋅ 6

v , w = - 4 + 30

v , w = 26

Ou seja:

u + v , w = u , w + v , w

11 = - 15 + 26

11 = 11

Passo 3

Item c:

Para o item c, temos que verificar a seguinte relação:

u , v + w = u , v + u , w

Vamos encontrar v + w :

v + w = 4.5 + - 1,6

v + w = 4 - 1,5 + 6

v + w = 3,11

Aplicando ao produto interno, temos que:

u , v + w = 3 ⋅ 3 + - 2 ⋅ 11

u , v + w = 9 - 22

u , v + w = - 13

Vamos verificar agora os termos da igualdade. Temos que:

u , v = u 1 v 1 + u 2 v 2

u , v = 3 ⋅ 4 + - 2 ⋅ 5

u , v = 2

E:

u , w = u 1 w 1 + u 2 w 2

u , w = 3 ⋅ - 1 + - 2 ⋅ 6

u , w = - 15

Portanto:

u , v + w = u , v + u , w

- 13 = 2 - 15

Ficando assim verificado o item c.

Passo 4

Item d:

Para o item d, queremos verificar que:

k u , v = k u , v = u , k v

Vamos trabalhar com o primeiro termo. Temos que:

k u = - 4 3 , - 2

k u = - 12,8

Logo:

k u , v = - 12 ⋅ 4 + 8 ⋅ 5

k u , v = - 48 + 40

k u , v = - 8

Agora vamos calcular k u , v . Dos itens anteriores, já sabemos que:

u , v = 2

Portanto:

k u , v = - 4 ⋅ 2 = - 8

Temos que calcular também u , k v . Sabendo que:

k v = k 4,5

k v = - 4 4,5

k v = - 16 , - 20

Portanto:

u , k v = 3 ⋅ - 16 + - 2 ⋅ - 20

u , k v = - 48 + 40

u , k v = - 8

Ou seja:

k u , v = k u , v = u , k v = - 8

Ficando assim verificado o item d.

Passo 5

Item e:

Para o item e, devemos verificar que:

0 , v = v , 0 = 0

Temos que:

0 = 0,0

Portanto:

0 , v = 0 ⋅ 4 + 0 ⋅ 5

0 , v = 0

Temos também que:

v , 0 = 4 ⋅ 0 + 5 ⋅ 0

Logo:

v , 0 = 0

Ou seja:

0 , v = v , 0 = 0

Ficando assim verificado o item e.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Sejam u , v o produto interno euclidiano em R 2 gerado por 2 11 1 e u = 2,1 , v = - 1,1 , w = 0 , - 1 . Calcule as expressões dadas. u , v v , w u + v , w v d v , w v - w 2
Use a Fórmula 4 para mostrar que u , v = 5 u 1 v 1 - u 1 v 2 - u 2 v 1 + 10 u 2 v 2 é o produto interno em R 2 gerado por A = 2 - 11 3 Use o produto interno da parte a para calcular u , v com u = 0 ,
Repita o E x e r c í c i o1 í com o produto interno euclidiano ponderado u , v = 2 u 1 v 1 + 3 u 2 v 2 .
Use os produtos internos do E x e r c í c i o18 í para encontrar d u , v com u = - 1,2 e v = 2,5 .
Suponha que P 2 tenha o produto interno do E x e m p l o7 . Encontre d p , q com p = 3 - x + x 2 ,q = 2 + 5 x 2