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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.2 - Ex. 30

Resolva o sistema [[x_1,+,x_2,+,x_3,=,a],[2,x_1,+,2,x_3,=,b],[3,x_2,+,3,x_3,=,c]] em que a , b e c são constantes.

Passo 1

Para resolver um sistema linear, há vários métodos. O mais comum e aconselhável é resolver por eleminação usando a matriz ampliada.

([[[[1],[2],[0]],[[1],[0],[3]],[[[[1],[2],[3]],[[a],[b],[c]]]]]])

Passo 2

Para essas operações, utilizaremos o rótulo L para designar a linha e o operdor:

underset(L q u e s e r á a l t e r a d a -> O p e r a ç ã o)(->)

([[[[1],[2],[0]],[[1],[0],[3]],[[[[1],[2],[3]],[[a],[b],[c]]]]]]) underset(L 2 -> L 2 - 2 L 1)(->) ([[[[1],[0],[0]],[[1],[-,2],[3]],[[[[1],[0],[3]],[[a],[b,-,2,a],[c]]]]]])

([[[[1],[0],[0]],[[1],[-,2],[3]],[[[[1],[0],[3]],[[a],[b,-,2,a],[c]]]]]]) underset([[L 2 - (1)/(2) L 2],[L 3 -> (1)/(3) L 3]])(->) ([[[[1],[0],[0]],[[1],[1],[1]],[[[[1],[0],[1]],[[a],[a,-,(1)/(2),b],[(1)/(3),c]]]]]])

([[[[1],[0],[0]],[[1],[1],[1]],[[[[1],[0],[1]],[[a],[a,-,(1)/(2),b],[(1)/(3),c]]]]]]) underset(L 3 -> L 3 - L 2)(->) ([[[[1],[0],[0]],[[1],[1],[0]],[[[[1],[0],[1]],[[a],[a,-,(1)/(2),b],[(1)/(3),c,+,(1)/(2),b,-,a]]]]]])

Passo 3

([[[[1],[0],[0]],[[1],[1],[0]],[[[[1],[0],[1]],[[a],[a,-,(1)/(2),b],[(1)/(3),c,+,(1)/(2),b,-,a]]]]]]) underset(L 1 -> L 1 - L 2)(->) ([[[[1],[0],[0]],[[0],[1],[0]],[[[[1],[0],[1]],[[(1)/(2),b],[a,-,(1)/(2),b],[(1)/(3),c,+,(1)/(2),b,-,a]]]]]])

([[[[1],[0],[0]],[[0],[1],[0]],[[[[1],[0],[1]],[[(1)/(2),b],[a,-,(1)/(2),b],[(1)/(3),c,+,(1)/(2),b,-,a]]]]]]) underset(L 1 -> L 1 - L 3)(->) ([[[[1],[0],[0]],[[0],[1],[0]],[[[[0],[0],[1]],[[a,-,(1)/(3),c],[a,-,(1)/(2),b],[(1)/(3),c,+,(1)/(2),b,-,a]]]]]])

Passo 4

Abrindo a matriz ([[[[1],[0],[0]],[[0],[1],[0]],[[[[0],[0],[1]],[[a,-,(1)/(3),c],[a,-,(1)/(2),b],[(1)/(3),c,+,(1)/(2),b,-,a]]]]]]) , temos o sistema:

[[x_1,=,a,-,(1)/(3),c],[x_2,=,a,-,(1)/(2),b],[x_3,=,(1)/(3),c,+,(1)/(2),b,-,a]]

Resposta

A solução do sistema é: [[x_1,=,a,-,(1)/(3),c],[x_2,=,a,-,(1)/(2),b],[x_3,=,(1)/(3),c,+,(1)/(2),b,-,a]]

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