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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 12.Exercício - Ex. 23

Resolva a equação (vec x ^^ vec a) ^^ (vec x ^^ vec b) = vec c , sabendo que [vec a , vec b , vec c] != 0 .

Passo 1

Bora lá!

Para resolvermos a equação pedida, vamos utilizar as seguintes identidades da Geometria Analítica:

(vec u ^^ vec v) ^^ (vec w ^^ vec t) = [(vec u ^^ vec v) . vec t] . vec w - [(vec u ^^ vec v) . vec w] . vec t

[(lambda vec u) ^^ vec v] = lambda ( vec u ^^ vec v )

Passo 2

Trazendo a equação do enunciado para a primeira identidade proposta, temos:

(vec x ^^ vec a) ^^ (vec x ^^ vec b) = [(vec x ^^ vec a) . vec b] . vec x - [(vec x ^^ vec a) . vec x] . vec b

E analisando o produto misto (vec x ^^ vec a) . vec x , teremos:

(vec x ^^ vec a) . vec x = - vec a ^^ vec x . vec x = - vec a . (vec x ^^ vec x) = 0

Passo 3

Portanto, retornando à equação proposta no enunciado:

vec c = (vec x ^^ vec a) ^^ (vec x ^^ vec b)

= [(vec x ^^ vec a) . vec b] vec x - [(vec x ^^ vec a) . vec x] . vec b

= [(vec x ^^ vec a) . vec b] vec x

vec c = lambda vec x

Ou seja, os vetores vec c e vec x são múltiplos, logo têm a mesma direção.

Passo 4

Substituindo vec x para descobrirmos o valor de lambda , temos:

vec x = (1)/(lambda) vec c

lambda = (vec x ^^ vec a) . vec b

lambda = ((1)/(lambda) vec c ^^ vec a) . vec b

Passo 5

Por fim, usando a segunda identidade proposta, que nos diz que [(lambda vec u) ^^ vec v] = lambda ( vec u ^^ vec v ) :

lambda = ((1)/(lambda) vec c ^^ vec a) . vec b

lambda = (1)/(lambda) (vec c ^^ vec a) . vec b

lambda^2 = vec c ^^ vec a . vec b

lambda = +- sqrt(vec c ^^ vec a . vec b)

Resposta

vec x = +- ((1)/(sqrt(vec c ^^ vec a . vec b))) vec c

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Prove que:(b) [vec u ^^ vec v , vec w ^^ vec t , vec x] = |[[[vec u , vec w , vec t],vec u,.,vec x],[[vec v , vec w , vec t],vec v,.,vec x]]|
Prove que:(a) [vec u ^^ vec v , vec w , vec t] = |[[vec u,.,vec w,vec u,.,vec t],[vec v,.,vec w,vec v,.,vec t]]|
Dados vec u , vec v e vec w , sejam E = (vec u , vec v , vec w) e F = (vec u ^^ vec v , vec v ^^ vec w , vec w ^^ vec u) . Prove que (a) (vec u ^^ vec v) ^^ (vec v ^^ vec w) . (vec w ^^ vec u) = [vec