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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 12.Exercício - Ex. 18a

Prove que:

(a) [vec u ^^ vec v , vec w , vec t] = |[[vec u,.,vec w,vec u,.,vec t],[vec v,.,vec w,vec v,.,vec t]]|

Passo 1

Bora lá!

Para essa questão, vamos usar a definição de produto misto e a fómula do duplo produto vetorial, beleza?

Começando pela definição de produto misto, temos:

[vec u ^^ vec v , vec w , vec t] = ((vec u ^^ vec v) ^^ vec w) . vec t ( 1 )

Já pela fórmula do duplo produto vetorial:

((vec u ^^ vec v) ^^ vec w) = - (vec v . vec w) . vec u + (vec u . vec w) . vec v ( 2 )

Passo 2

Substituindo (2) em (1), temos:

[vec u ^^ vec v , vec w , vec t] = ((vec u ^^ vec v) ^^ vec w) . vec t

[vec u ^^ vec v , vec w , vec t] = (- (vec v . vec w) . vec u + (vec u . vec w) . vec v) . vec t

[vec u ^^ vec v , vec w , vec t] = (vec u . vec w) . (vec v . vec t) - (vec v . vec w) . (vec u . vec t)

[vec u ^^ vec v , vec w , vec t] = |[[vec u,.,vec w,vec u,.,vec t],[vec v,.,vec w,vec v,.,vec t]]|

Notem, que as manupilações feitas são sempre para tentarmos chegar na igualdade dada no enunciado, ok?

Portanto, provamos o que foi pedido 😉.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em relação a uma base ortonormal negativa E = a → ,b → ,c → , sejam u → = ( a 1 ,b 1 ,c 1 ) , v → = ( a 2 ,b 2 ,c 2 ) e w → = ( a 3 ,b 3 ,c 3 ) . Mostre que u → ,v → ,w → = - a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a
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