Dados vec u , vec v e vec w , sejam E = (vec u , vec v , vec w) e F = (vec u ^^ vec v , vec v ^^ vec w , vec w ^^ vec u) . Prove que

(a) (vec u ^^ vec v) ^^ (vec v ^^ vec w) . (vec w ^^ vec u) = [vec u , vec v , vec w]^2 ;

Passo 1

Bora lá!

Nesse exercício nós trataremos o produto vetorial ( vec u ^^ vec v ) ^^ ( vec v ^^ vec w ) como se fosse apenas um duplo produto vetorial entre os vetores vec u , vec v e ( vec v ^^ vec w ) . Portanto, pela fórmula do duplo vetorial, temos:

((vec u ^^ vec v) ^^ (vec v ^^ vec w)) = - (vec v . vec v ^^ vec w) . vec u + (vec u . vec v ^^ vec w) . vec v

= - 0 . vec u + (vec u ^^ vec v . vec w) . vec v

= [vec u , vec v , vec w] . vec v

Passo 2

Substituindo o valor do Passo 1 na equação do enunciado, temos:

(vec u ^^ vec v) ^^ (vec v ^^ vec w) . (vec w ^^ vec u) = ([vec u , vec v , vec w] . vec v) . (vec w ^^ vec u)

= [vec u , vec v , vec w] . (vec v . vec w ^^ vec u)

= [vec u , vec v , vec w] . (vec u . vec v ^^ vec w)

= [vec u , vec v , vec w] . (vec u ^^ v . vec w)

= [vec u , vec v , vec w] . [vec u , vec v , vec w]

= [vec u , vec v , vec w]^2

Notem, que as manupilações feitas são sempre para tentarmos chegar na igualdade dada no enunciado, ok?

Passo 3

Portanto, o valor de (vec u ^^ vec v) ^^ (vec v ^^ vec w) . (vec w ^^ vec u) é [vec u , vec v , vec w]^2 .

Logo, provamos o que foi pedido 😉.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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