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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 12.Exercício - Ex. 19a

Dados vec u , vec v e vec w , sejam E = (vec u , vec v , vec w) e F = (vec u ^^ vec v , vec v ^^ vec w , vec w ^^ vec u) . Prove que

(a) (vec u ^^ vec v) ^^ (vec v ^^ vec w) . (vec w ^^ vec u) = [vec u , vec v , vec w]^2 ;

Passo 1

Bora lá!

Nesse exercício nós trataremos o produto vetorial ( vec u ^^ vec v ) ^^ ( vec v ^^ vec w ) como se fosse apenas um duplo produto vetorial entre os vetores vec u , vec v e ( vec v ^^ vec w ) . Portanto, pela fórmula do duplo vetorial, temos:

((vec u ^^ vec v) ^^ (vec v ^^ vec w)) = - (vec v . vec v ^^ vec w) . vec u + (vec u . vec v ^^ vec w) . vec v

= - 0 . vec u + (vec u ^^ vec v . vec w) . vec v

= [vec u , vec v , vec w] . vec v

Passo 2

Substituindo o valor do Passo 1 na equação do enunciado, temos:

(vec u ^^ vec v) ^^ (vec v ^^ vec w) . (vec w ^^ vec u) = ([vec u , vec v , vec w] . vec v) . (vec w ^^ vec u)

= [vec u , vec v , vec w] . (vec v . vec w ^^ vec u)

= [vec u , vec v , vec w] . (vec u . vec v ^^ vec w)

= [vec u , vec v , vec w] . (vec u ^^ v . vec w)

= [vec u , vec v , vec w] . [vec u , vec v , vec w]

= [vec u , vec v , vec w]^2

Notem, que as manupilações feitas são sempre para tentarmos chegar na igualdade dada no enunciado, ok?

Passo 3

Portanto, o valor de (vec u ^^ vec v) ^^ (vec v ^^ vec w) . (vec w ^^ vec u) é [vec u , vec v , vec w]^2 .

Logo, provamos o que foi pedido 😉.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Sendo [vec u , vec v , vec w] = 6 , calcule [2 vec u - 3 vec v + vec w , - vec u + vec v - vec w , v - 3 vec w] .
Seja, A B C D um tetraedro, P = A + 2 A B → + A C → + A D → ,Q = B - A B → - A C → + A D → e R = C + A B → + A C → . Calcule a razão entre os volumes dos tetraedros P Q R D e A B C D .
Seja ( e 1 → ,e 2 → ,e 3 → ) uma base.(b) Aplique, ao caso em que e 1 → = 1 ,1 ,1 ,e 2 → = 2 ,0 ,1 ,e 3 → = ( 0 ,1 ,0 ) e x → = 4 ,3 ,3 a igualdade do item (a) (as coordenadas refém-se a uma base orto
Sejam ( a → ,b → ,c → ) uma base positiva, u → = a → ∧ b → ,v → = ( a → + b → ) ∧ c → e w → = ( b → ∧ a → ) ∧ a → .(b) Calcule o volume de um paralelepípedo cujas arestas são paralelas a u → ,v → e w
Dados vec u , vec v e vec w , sejam E = (vec u , vec v , vec w) e F = (vec u ^^ vec v , vec v ^^ vec w , vec w ^^ vec u) . Prove que (c) E é base= F é base;