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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 34.Problemas - Ex. 1

Sejam [[1,2],[3,4]] = m ; m^' = [[1,2],[3,6]] ; w = [[1],[5]] e O = [[0],[0]] Determine as matrizes v = [[x],[y]] e v^' = [[x,'],[y,']] tais que m * v = w e m ' * v ' = 0 .

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos montando nossas devidas multiplicações, assim ficara mais fácil visualizar o que fazer em seguida.

m * v = w

[[|,1,2,|],[|,3,4,|]] . [[|,x,|],[|,y,|]] = [[1],[5]]

Então vamos multiplicar!

[[|,1,2,|],[|,3,4,|]] . [[|,x,|],[|,y,|]] = [[|,x,+,2,y,,|],[|,3,x,+,4,y,|]]

Até aí tudo na tranquilidade?

Passo 2

Agora vamos igualar e resolver o sistema linear resultante:

[[|,x,+,2,y,,|],[|,3,x,+,4,y,|]] = [[1],[5]]

Utilizando o método da adição posso multiplicar a equação 1 por ( - 3 ) , assim teremos:

{ x + 2 y = 1 ( - 3 )

{ 3 x + 4 y = 5

{ - 3 x - 6 y = - 3

{ 3 x + 4 y = 5

Efetuando a soma, vamos obter:

- 2 y = 2

y = - 1

Encontrando x :

x + 2 ( - 1 ) = 1

x - 2 = 1

x = 3

Logo a matriz:

v = [[x],[y]]

v = [[3],[-,1]]

Passo 3

Utilizando o mesmo raciocínio para encontrar a matriz v ’ !

m ' * v ' = w

[[|,1,2,|],[|,3,6,|]] . [[|,x,',|],[|,y,',|]] = [[0],[0]]

Então vamos multiplicar!

[[|,1,2,|],[|,3,6,|]] . [[|,x,',|],[|,y,',|]] = [[|,x,+,2,y,,|],[|,3,x,+,6,y,|]]

Agora vamos igualar e resolver o sistema linear resultante:

[[|,x,+,2,y,,|],[|,3,x,+,6,y,|]] = [[0],[0]]

Utilizando o método da substituição, vamos isolar a equação (1), assim teremos:

{ x + 2 y = 0

{ 3 x + 6 y = 0

x + 2 y = 0

x = - 2 y

Substituindo na equação (2)

{ 3 ( - 2 y ) + 6 y = 0

{ 3 ( - 2 y ) + 6 y = 0

- 6 y + 6 y = 0

y = 0

Como:

x = - 2 y ; x = 0

Logo a matriz:

v ' = [[x,'],[y,']]

v ' = [[0],[0]]

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

v = [[3],[-,1]]

v ' = [[0],[0]]

Exercícios de Livros Relacionados

Prove que uma matriz m, do tipo 3x3 é invertível se, e somente se, para toda matriz não-nula x, com três linhas e uma só coluna, tem-se m . x ≠ 0 .
Seja m uma matriz 2x3 . Indicando com m 1 ,m 2em 3 respectivamente as matrizes 2x2 obtidas de m quando se omitem a primeira, a segunda e a terceira coluna, mostre que det . ⁡ m m t = det ⁡ . m 1 2 + (
Ache números α ,β de modo que os múltiplos α me β n das matrizes abaixo sejam matrizes ortogonais. m = 2 - 2 1 1 2 2 2 1 - 2 n = 6 3 2 - 3 2 6 2 - 6 3
Mostre que os resultados dos exercícios 1 e 2 também valem para a reflexão em torno de uma reta (no lugar de uma rotação).
Para matrizes quadradas, A = ( a i j ) n x n definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal (principal) de A, ou seja, tr(A) = ∑ i = 1 n a i i .c) Mostre que tr( A t ) = tr(A)