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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.3 - Ex. 5k

Considere as matrizes

A = 3 0 - 1 2 1 1 B = 4 - 1 0 2 C = 1 4 2 3 1 5 D = 1 5 2 - 1 0 1 3 2 4 E = 6 1 3 - 1 1 2 4 1 3

Em cada parte, calule a expressão t r ( C T A T + 2 E T ) (se possível)

Passo 1

Essa questão envolve compreender as condições para determinadas operações entre matrizes.

Para que uma soma entre matrizes seja possível:

A B l 1 × c 1 l 2 × c 2 l 1 = l 2 c 1 = c 2

Para que um produto de matrizes seja possível:

O grande macete dessa condição é verificar a dimensão da matriz vide que produtos de matrizes só são possíveis se o número de linhas colunas da primeira matriz for igual ao de linhas da segunda.

A B l 1 × c 1 l 2 × c 2 c 1 = l 2

Para calular o traço de uma matriz, primeiramente, ela deve ser uma matriz quadra. Ou seja, o número de linhas é igual ao número de colunas.

A = [ a i j ] n × n

O valor do traço dessa matriz será dado pela soma dos elementos da sua diagonal principal.

t r A = ∑ i = 1 n a i i

Passo 2

Como as matrizes C T e A T possuem dimensões   3 × 2 e 2 × 3 respectivamente, vemos que o número de colunas de C T é igual ao número de linhas de A T . Logo, seu produto é definido.

C T A T = 1 3 4 1 2 5 . 3 - 1 1 0 2 1 = 3 5 4 12 - 2 5 6 8 7

2 E T = 2 6 - 1 4 1 1 1 3 2 3 = 12 - 2 8 2 2 2 6 4 6

Passo 3

Como as matrizes C T A T e 2 E T   possuem dimensões iguais, sua soma é definida

C T A T + 2 E T = 3 5 4 12 - 2 5 6 8 7 + 12 - 2 8 2 2 2 6 4 6

C T A T + 2 E T = 15 3 12 1 4 0 7 12 12 13

Passo 4

Agora, vamos tomar   C T A T + 2 E T = 15 3 12 14 0 7 12 12 13 e montar a operação para o cálculo do traço:

t r C T A T + 2 E T = ∑ i = 1 3 a i i = 15 + 0 + 13

t r C T A T + 2 E T = 28

Resposta

t r C T A T + 2 E T = 28

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