Quantas matrizes de tamanho você consegue encontrar tais que
com quaisquer escolhas de e ?
Passo 1
Começaremos esse problema definindo a matriz de maneira genérica:
Passo 2
Agora, vamos montar a equação matricial para essa matriz generalizada e resolvê-la:
Fazendo o produto e igualando a , encontramos três equações
Passo 3
Para satisfazer essas igualadades, temos observar que cada elemento é um coeficiente que multiplica uma das três incógnitas.
- Então, para satisfazer a primeira equação, o coeficiente deve ser nulo pois não há incógnita no outro lado da igualdade. Agora, temos:
- Para satisfazer a segunda equação, os três coeficientes devem ser iguais a zero para que
Vamos tentar resolver essa equação isolando o segundo coeficiente.
Se considerarmos , basta resolvermos para isolar o coeficiente. Assim:
Logo, com a parametrização , temos o segundo coeficiente:
- Para satisfazer a terceira equação, os três coeficientes devem ser iguais a zero para que
Passo 4
Finalmente, agora devemos substituir os coeficientes encontrados nas equações na matriz .
Assim:
Resposta