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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.3 - Ex. 28

Quantas matrizes A de tamanho 3 × 3 você consegue encontrar tais que

A x y z = x y 0 0

com quaisquer escolhas de x ,   y e z ?

Passo 1

Começaremos esse problema definindo a matriz A 3 × 3 de maneira genérica:

A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

Passo 2

Agora, vamos montar a equação matricial para essa matriz generalizada e resolvê-la:

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 . x y z = x y 0 0

Fazendo o produto a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 . x y z e igualando a x y 0 0 , encontramos três equações

a 11 . x + a 12 . y + a 13 . z = x y a 21 . x + a 22 . y + a 23 . z = 0 a 31 . x + a 32 . y + a 33 . z = 0

Passo 3

Para satisfazer essas igualadades, temos observar que cada elemento a i j é um coeficiente que multiplica uma das três incógnitas.

  • Então, para satisfazer a primeira equação, o coeficiente a 13 deve ser nulo pois não há incógnita z no outro lado da igualdade. Agora, temos:

    • a 11 . x + a 12 . y = x y

    Vamos tentar resolver essa equação isolando o segundo coeficiente.

    a 12 . y = x y - a 11 . x

    a 12 . y = y - a 11 . x

    a 12 = y y - a 11 y x

    a 12 = 1 - a 11 y x  

    Se considerarmos 1 - a 11 y = k , basta resolvermos para isolar o coeficiente. Assim:

    1 - k y = a 11

    Logo, com a parametrização 1 - a 11 y = k , temos o segundo coeficiente:

    a 12 = k x

  • Para satisfazer a segunda equação, os três coeficientes devem ser iguais a zero para que a 21 . x + a 22 . y + a 23 . z = 0
  • Para satisfazer a terceira equação, os três coeficientes devem ser iguais a zero para que a 31 . x + a 32 . y + a 33 . z = 0

Passo 4

Finalmente, agora devemos substituir os coeficientes encontrados nas equações na matriz A .

Assim:

A = 1 - k y k x 0 0 0 0 0 0 0

Resposta

A = 1 - k y k x 0 0 0 0 0 0 0

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Para cada sistema do Exercício 3 que for linear, determine se é consistente.
Em cada parte, determine se a equação é linear em x 1 , x 2 e x 3 na equação equação: x 1 + 5 x 2 - 2 x 3 = 1
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: - 2 x + 4 y + z = 2 3 x - 2 y = 0
Em cada parte, determine se a equação é linear em x 1 , x 2 e x 3 na equação: x 1 - 2 + x 2 2 + 8 x 3 = 3
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: x 1 + x 2 = x 3 + x 4