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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 3b

Seja A = ( a i j ) 3 x 3 tal que det(A) = 3. Calcule o determinante das matrizes a seguir:

b) a 11 + a 12 a 11 - a 12 a 13 a 21 + a 22 a 21 - a 22 a 23 a 31 + a 32 a 31 - a 32 a 33

Passo 1

Inicialmente, vamos reescrever o determinante da matriz desejada de forma que:

det a 11 + a 12 a 11 - a 12 a 13 a 21 + a 22 a 21 - a 22 a 23 a 31 + a 32 a 31 - a 32 a 33 = det a 11 a 11 a 13 a 21 a 21 a 23 a 31 a 31 a 33 + det a 11 - a 12 a 13 a 21 - a 22 a 23 a 31 - a 32 a 33 + det a 12 a 11 a 13 a 22 a 21 a 23 a 32 a 31 a 33 + det a 12 - a 12 a 13 a 22 - a 22 a 23 a 32 - a 32 a 33

Passo 2

Resolvendo cada um dos determinantes:

det a 11 a 11 a 13 a 21 a 21 a 23 a 31 a 31 a 33 =

a 11 ∙ a 21 ∙ a 33 + a 11 ∙ a 23 ∙ a 31 + a 13 ∙ a 21 ∙ a 31 - a 13 ∙ a 21 ∙ a 31 - a 11 ∙ a 21 ∙ a 33 - a 11 ∙ a 23 ∙ a 31

det a 11 - a 12 a 13 a 21 - a 22 a 23 a 31 - a 32 a 33 =

a 11 ∙ - a 22 ∙ a 33 + - a 12 ∙ a 23 ∙ a 31 + a 13 ∙ a 21 ∙ - a 32 - a 13 ∙ - a 22 ∙ a 31 - - a 12 ∙ a 21 ∙ a 33 - a 11 ∙ a 23 ∙ - a 32 =   - a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 - a 12 ∙ a 23 ∙ a 31 - a 13 ∙ a 21 ∙ a 32 + a 13 ∙ a 22 ∙ a 31 + a 12 ∙ a 21 ∙ a 33 + a 11 ∙ a 23 ∙ a 32 =   - d e t ⁡ ( A )

det a 12 a 11 a 13 a 22 a 21 a 23 a 32 a 31 a 33 =

a 12 ∙ a 21 ∙ a 33 + a 11 ∙ a 23 ∙ a 32 + a 13 ∙ a 22 ∙ a 31 - a 13 ∙ a 21 ∙ a 32 - a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 - a 12 ∙ a 23 ∙ a 31

det a 12 - a 12 a 13 a 22 - a 22 a 23 a 32 - a 32 a 33 =

- a 12 ∙ a 22 ∙ a 33 - a 12 ∙ a 23 ∙ a 32 - a 13 ∙ a 22 ∙ a 32 + a 13 ∙ a 22 ∙ a 32 + a 12 ∙ a 22 ∙ a 33 + a 12 ∙ a 23 ∙ a 32

Passo 3

Fazendo a soma dos determinantes 1, 3 e 4:

a 11 ∙ a 21 ∙ a 33 + a 11 ∙ a 23 ∙ a 31 + a 13 ∙ a 21 ∙ a 31 - a 13 ∙ a 21 ∙ a 31 - a 11 ∙ a 21 ∙ a 33 - a 11 ∙ a 23 ∙ a 31 + a 12 ∙ a 21 ∙ a 33 + a 11 ∙ a 23 ∙ a 32 + a 13 ∙ a 22 ∙ a 31 - a 13 ∙ a 21 ∙ a 32 - a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 - a 12 ∙ a 23 ∙ a 31 - a 12 ∙ a 22 ∙ a 33 - a 12 ∙ a 23 ∙ a 32 - a 13 ∙ a 22 ∙ a 32 + a 13 ∙ a 22 ∙ a 32 + a 12 ∙ a 22 ∙ a 33 + a 12 ∙ a 23 ∙ a 32 =

- d e t ⁡ ( A )

Logo:

det a 11 + a 12 a 11 - a 12 a 13 a 21 + a 22 a 21 - a 22 a 23 a 31 + a 32 a 31 - a 32 a 33 =   - 2 det ⁡ ( A )

Como sabemos que A é uma matriz 3x3 com determinante igual a 3:

det(A) = det a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = 3

- 2 det ⁡ A =   - 6

Resposta

-6

Exercícios de Livros Relacionados

Se d e t (A) = - 3 , encontre d e t (A^(- 1))
Se d e t (A) = - 3 , encontre d e t (A^2)
Se A e B são matrizes n xx n tais que d e t (A) = - 2 e d e t (B) = 3 , calcule d e t (A^t B^(- 1)) .
Mostre que se A e uma matriz não singular tal que A2 = A, então det(A) = 1.
Mostre que se Ak = 0 → , para algum k inteiro positivo, então A é singular.