Já sabemos que a área do triângulo A B C da figura é A   =   1 2 | u →   ∧ v → | . A área do triângulo A B C também é dada por 1 2 | u →   ∧ w → | ? Justifique sua resposta (a) geometricamente; (b) algebricamente.

Passo 1

Fala, pessoal! Essa questão é daquelas que é tão simples que às vezes a gente não sabe como demonstrar. Mas calma, com um pouco de paciência vamos conseguir.

  1. geometricamente, podemos considerar a largura do triângulo como representada por | u → | e a altura representada pela projeção de w → numa direção perpendicular a u → . Essa projeção, em módulo, é dada por | w → | s e n   α onde α é o ângulo entre u →   , w → . Assim, a área do triângulo fica dada por

A = 1 2 | u → | | w → | s e n   α = 1 2 | u →   ∧ w → | .

Passo 2

b) Algebricamente, temos que notar que

w → = u →   - v →

Então, vamos substituir isso na segunda fórmula para a área

1 2 | u →   ∧ w → | = 1 2 | u →   ∧ ( u →   - v → ) | = 1 2 | u →   ∧ u →   - u →   ∧ v → ) | = 1 2 | - u →   ∧ v → ) | = 1 2 | u →   ∧ v → ) | = A

Opa! Conseguimos mostrar que a área também pode ser dada por 1 2 | u →   ∧ w → | .

Resposta

Veja a resolução acima.

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