Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 4.Problemas Propostos - Ex. 31
Estabelecer as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto de interseção das retas
e é, ao mesmo tempo, ortogonal a e .
Passo 1
Para resolver este problema proposto, precisamos nos recordar do que aprendemos no capítulo 4 sobre equações paramétricas da reta, e sobre a condição de ortogonalidade. Neste capítulo podemos encontrar alguns problemas resolvidos e exemplos, que dão uma boa ideia de como desenvolver uma resposta.
Nosso desafio aqui, é estabelecer as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto de interseção das retas
e é, ao mesmo tempo, ortogonal a e .
Então, vamos lá? Aposto que vocês conseguem!
Passo 2
Para a reta , temos que o vetor diretor é dado por .
Lembrem-se que a equação da reta é: que por comparação com a equação , definem o vetor diretor . Logo por comparação .
Passo 3
Ainda precisamos do vetor diretor da reta que nós vamos chamar de . Como a reta está definida por , então vamos considerar que Assim, temos que as retas paramétricas da reta são:
Sabendo que o vetor diretor nas retas paramétricas é o coeficiente de , temos:
Passo 4
A reta ortogonal às retas e tem o vetor paralelo perpendicular aos vetores que definem as direções de e .
O vetor ortogonal a outros dois é igual ao produtor vetorial destes dois. Portando, se nós chamarmos o vetor ortogonal de ele será igual ao produto vetorial entre e .
Calculando o produto vetorial , temos:
Passo 5
Para acharmos o ponto de interseção das retas, vamos fazer as seguintes operações:
Primeiro, vamos substituir em :
Passo 6
Agora, ao substituir em , temos:
Substituindo em , obtemos:
Assim, o ponto de interseção entre as retas e é
Passo 7
Por fim, vamos calcular as equações paramétricas da reta para com Lembrem-se que pertence à reta cuja equação procuramos e é o vetor diretor desta reta.
Assim, a equação vetorial desta reta é dada por: