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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas Propostos - Ex. 16

Sabendo que o ângulo entre os vetores u → = 2 ,   1 ,   - 1 e v → = 1 ,   - 1 ,   m + 2 é π 3 , determinar m .

Passo 1

De início, vamos usar da equação u → v → cos ⁡ θ = u → ∙ v →   para isolarmos o m

u → v → cos ⁡ θ = u → ∙ v →

Passo 2

O lado esquerdo da equação é calculado por:

u → v → cos ⁡ θ

2 2 + 1 2 + - 1 2 ∙ 1 2 + - 1 2 + m + 2 2 ∙ cos ⁡ π 3

6 ∙ m 2 + 4 m + 6 ∙ 1 2

Passo 3

O lado direito da equação é calculado por:

u → ∙ v → = 2 ,   1 ,   - 1 ∙ 1 ,   - 1 ,   m + 2

u → ∙ v → = 2 + - 1 + - m - 2

u → ∙ v → = - 1 - m

Passo 4

Vamos isolar m para conseguirmos encontra-lo:

6 ∙ m 2 + 4 m + 6 ∙ 1 2 = - 1 - m

6 ∙ m 2 + 4 m + 6 = - 2 - 2 m

6 ∙ m 2 + 4 m + 6 2 = - 2 - 2 m 2

6 m 2 + 4 m + 6 = 4 m 2 + 8 m + 4

6 m 2 + 24 m + 36 = 4 m 2 + 8 m + 4

2 m 2 + 16 m + 32 = 0

Passo 5

Pelo fórmula de Báskhara:

2 m 2 + 16 m + 32 = 0

- 16 ± 16 2 - 4 ( 2 ) ( 32 ) 2 ( 2 )

- 16 ± 256 - 256 4

m = - 16 4           ∴         m = - 4

Resposta

m = - 4

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Sejam O A →=( 1,1 , 3 ) , O B →=( 3,2 , 2 ) e O C →=( 1,0 , - 4 ) .Ache as coordenadas de todos os vetores determinados pelos pontos O, A, B e C.Demonstre que os 4 pontos (não necessariamente na ordem
Ache um vetor v → que forma ângulos iguais com ( 1,0 , 0 ) e ( 0,0 , 1 ) é ortogonal a u →=( 2 , - 2,2 ) , | v | →= 24 , sendo agudo o ângulo que v → forma com ( 0,1 , 0 ) .
Ache um vetor de norma 1, ortogonal a vec u = ( 1 , - 3,1 ) e a vec v = ( - 3,3 , 3 ) .
Determine o vetor u → sabendo que u → é combinação linear de ( 1 , - 3,0 ) e ( 0 , - 4,1 ) , u → é ortogonal a ( 0,1 , - 2 ) , | u | →=3 e u → forma um ângulo obtuso com k →= ( 0,0 , 1 ) .
Decomponha o vetor u →=( 3 , - 1,5 ) em uma soma de dois vetores a → e b → , sabendo que a → é paralelo ao vetor ( - 2 , - 4 , - 10 ) e b → é ortogonal ao vetor ( 0,0 , 1 ) .