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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 4.Problemas propostos - Ex. 3e

3. Sabendo que u * (v xx w) = 2 , calcular

a) u * (w xx v)

b) v * (w xx u)

c) (v xx w) * u

d) (u xx w) * (3 v)

e) u * (2 w xx v)

f) (u + v) * (u xx w)

Passo 1

(e) Nessa questão vamos usar duas propriedades de produto misto:

- O produto misto (vec u , vec v , vec w) muda se sinal ao trocarmos a posição de dois vetores.

- (vec u , vec v , alpha vec w) = (vec u , alpha vec v , vec w) = (alpha vec u , vec v , vec w) = alpha (vec u , vec v , vec w)

Mas como somos espertos, já sabemos que:

(vec u , vec v , vec w) = vec u * (vec v xx vec w)

São só formas diferentes de escrever a mesma coisa.

Então podemos representar por:

u * (2 w xx v) = (vec u , 2 vec w , vec v)

Passo 2

Aplicando a segunda propriedade:

(vec u , 2 vec w , vec v) = 2 (vec u , vec w , vec v)

Como (vec u , vec v , vec w) = 2 , então repare que se trocarmos v e w de posição, ficamos com:

(vec u , vec w , vec v) = - 2

Então:

(vec u , 2 vec w , vec v) = 2 (- 2)

(vec u , 2 vec w , vec v) = - 4

u * (2 w xx v) = - 4

Resposta

u * (2 w xx v) = - 4

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