Sabendo que:

[I]_B^A = [[[-,7,6],[-,11,8]]] e A = {(1 , 3) , (2 , - 4)} ,

determine a base B .

Passo 1

A questão fornece a matriz de mudança da base A para a base B e pede para encontrarmos os vetores da base B .

Para resolver esse problema, temos que lembrar que as colunas da matriz de mudança de base são os vetores da base A escritos na base B . Seria muito interessante ter a matriz de mudança de B para A , pois as contas serão bem mais simples. Para isso, basta inverter a matriz dada:

[I]_A^B = ([I]_B^A)^(- 1)

Para inverter uma matriz 2 xx 2 , lembre-se que você sempre pode usar o macete:

([[[a,b],[c,d]]])^(- 1) = (1)/(a d - b c) [[[d,-,b],[-,c,a]]]

Assim,

[I]_A^B = ([[[-,7,6],[-,11,8]]])^(- 1) = (1)/(- 56 + 66) [[[8,-,6],[11,-,7]]] = [[[(4)/(5),-,(3)/(5)],[(11)/(10),-,(7)/(10)]]]

Passo 2

As colunas da matriz encontrada são os vetores da base B escritos na base A . Assim,

v_1 = (4)/(5) (1 , 3) + (11)/(10) ( 2 , - 4 )

v_2 = - (3)/(5) (1 , 3) - (7)/(10) ( 2 , - 4 )

Portanto,

v_1 = ( 3 , - 2 )

v_2 = ( - 2 , 1 )

Logo, a base A será

B = { (3 , - 2) , (- 2 , 1) }

Resposta

B = { (3 , - 2) , (- 2 , 1) }

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