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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 5.7 - Ex. 4

Verificar se o operador linear T :   R 3 → R 3 definido por T 1 ,   0 ,   0 = ( 2 , - 1 ,   0 ) , T 0 ,   - 1 ,   0 = ( - 1 , - 1 , - 1 ) e T 0 ,   3 ,   - 1 = ( 0 ,   1 ,   1 ) é inversível e, em caso afirmativo, determinar T - 1 ( x , y , z ) .

Passo 1

A questão fornece um operado linear definido por T 1 ,   0 ,   0 = ( 2 , - 1 ,   0 ) , T 0 ,   - 1 ,   0 = ( - 1 , - 1 , - 1 ) e T 0 ,   3 ,   - 1 = ( 0 ,   1 ,   1 ) e pede para verificarmos se ele é inversível. Para isso, temos que escrever a matriz de transformação na base canônica.

O primeiro passo para isso é encontrar T ( 1 ,   0 ,   0 ) (já temos), T ( 0 ,   1 ,   0 ) e T ( 0 ,   0 ,   1 ) . Note que

T 0 ,   - 1 ,   0 = - T 0 ,   1 ,   0 ⇒ T 0 ,   1 ,   0 = - - 1 , - 1 , - 1 = ( 1 ,   1 ,   1 )

Analogamente,

T 0 ,   3 , - 1 = 3 T 0 ,   1 ,   0 - T 0 ,   0 ,   1 = 3 ,   3 ,   3 - T ( 0 ,   0 ,   1 )

Assim,

T 0 ,   0 ,   1 = 3 ,   3 ,   3 - 0 ,   1 ,   1 = ( 3 ,   2 ,   2 )

Portanto, a matriz de transformação na base canônica será:

T = 2 1 3 - 1 1 2 0 1 2

Passo 2

Vamos calcular o determinante de [ T ] para ver se o operador é inversível:

det ⁡ T = 2 1 3 - 1 1 2 0 1 2 = 2 ⋅ 0 - 1 ⋅ - 2 + 3 ⋅ - 1 = - 1 ≠ 0

Portanto, T é inversível já que [ T ] admite inversa. Vamos procurar a inversa usando o método da matriz expandida:

2 1 3 - 1 1 2 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Multiplicando a segunda linha por 2 e somando com a primeira:

2 1 3 0 3 7 0 1 2 1 0 0 1 2 0 0 0 1

Multiplicando a terceira linha por - 3 e somando com a segunda:

2 1 3 0 3 7 0 0 1 1 0 0 1 2 0 1 2 - 3

Multiplicando a terceira linha por - 7 , somando com a segunda e substituindo na segunda:

2 1 3 0 3 0 0 0 1 1 0 0 - 6 - 12 21 1 2 - 3 ⇒ 2 1 3 0 1 0 0 0 1 1 0 0 - 2 - 4 7 1 2 - 3

Multiplicando a terceira linha por - 3 e somando com a primeira:

2 1 0 0 1 0 0 0 1 - 2 - 6 9 - 2 - 4 7 1 2 - 3

Multiplicaando a primeira linha por - 1 e somando com a segunda:

- 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 - 2 - 2 - 4 7 1 2 - 3 ⇒ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 - 1 1 - 2 - 4 7 1 2 - 3

Assim, a matriz inversa será:

T - 1 = 0 - 1 1 - 2 - 4 7 1 2 - 3

Passo 3

Para achar a transformação inversa, basta fazer o produto de matrizes:

0 - 1 1 - 2 - 4 7 1 2 - 3 ⋅ x y z = - y + z - 2 x - 4 y + 7 z x + 2 y - 3 z

Portanto,

T - 1 x , y , z = ( - y + z , - 2 x - 4 y + 7 z , x + 2 y - 3 z )

Resposta

T - 1 x , y , z = ( - y + z , - 2 x - 4 y + 7 z , x + 2 y - 3 z )

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