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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 5.7 - Ex. 18

Seja T :   R 2 → R 2 um operador linear. Consideremos as bases A canônica e B = { 4 ,   1 ,   - 11 , - 3 } . Sabendo que

T B = 3 5 1 2

determinar T A , utilizando a relação entre matrizes semelhantes.

Passo 1

A questão forneceu a matriz de transformação na base B e pede para encontrarmos a matriz na base canônica A . Usando a relação de matrizes semelhantes:

T B = M - 1   T A   M ,

onde M = I A B é a matriz de mudança de base de B para A , que pode ser facilmente escrita, já que A é a base canônica:

M = 4 - 11 1 - 3

As colunas dessa matriz são os vetores de B escritos na base A .

Passo 2

Desta forma, temos que

T A = M   T B   M - 1

Precisamos achar a inversa de M . Para isso, vamos usar o truque:

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Assim,

M - 1 = 1 ( - 1 ) - 3 11 - 1 4 = 3 - 11 1 - 4

Passo 3

Portanto,

T A = M   T B   M - 1 = 4 - 11 1 - 3 ⋅ 3 5 1 2 ⋅ 3 - 11 1 - 4

Logo,

T A = 4 - 11 1 - 3 ⋅ 14 - 53 5 - 19

Assim,

T A = 1 - 3 - 1 4

Resposta

T A = 1 - 3 - 1 4

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