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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 5.7 - Ex. 17d

Em relação aos operadores dados, determinar a matriz de T na base A e, a seguir, utilizar a relação entre matrizes semelhantes para calcular a matriz de T na base B .

T :   R 3 → R 3 ,       T x , y , z = ( x - 2 y - 2 z , y ,   2 y + 3 z )

A = 1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 ,   0 ,   ( 0 ,   0 ,   1 )         e         B = { 0 ,   1 , - 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   ( - 1 ,   0 ,   1 ) }

Passo 1

A questão fornece uma transformação linear e pede para encontrarmos as matrizes de transformação nas bases A e B .

Vamos fazer primeiro na base A . Note que ela é a base canônica, o que simplifica muito as coisas:

T 1 ,   0 ,   0 = ( 1 ,   0 ,   0 )

T 0 ,   1 ,   0 = ( - 2 ,   1 ,   2 )

T 0 ,   0 ,   1 = ( - 2 ,   0 ,   3 )

Esses vetores serão as colunas da matriz:

T A = 1 - 2 - 2 0 1 0 0 2 3

Passo 2

Para achar T B , vamos usar a relação entre matrizes semelhantes:

T B = M - 1   T A   M ,

Onde M = I A B é a matriz de mudança de base de B para A . Para construir essa matriz, temos que escrever os vetores de B na base A (que é a canônica). Desta forma,

M = I A B = 0 1 - 1 1 0 0 - 1 0 1

Invertendo essa matriz, obtemos

M - 1 = 0 1 0 1 1 1 0 1 1

Passo 3

Com isso, podemos finalmente fazer

T B = M - 1   T A   M = 0 1 0 1 1 1 0 1 1 ⋅ 1 - 2 - 2 0 1 0 0 2 3 ⋅ 0 1 - 1 1 0 0 - 1 0 1

Assim,

T B = 0 1 0 1 1 1 0 1 1 ⋅ 0 1 - 3 1 0 0 - 1 0 3

Logo,

T B = 1 0 0 0 1 0 0 0 3

Resposta

T A = 1 - 2 - 2 0 1 0 0 2 3

T B = 1 0 0 0 1 0 0 0 3

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