Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 5.7 - Ex. 14
Consideremos as seguintes bases do :
a) Determinar a matriz .
b) Utilizar a matriz obtida no item (a) para calcular , sendo .
c) Determinar a matriz .
Passo 1
A questão fornece duas bases e do e pede para estudarmos as matrizes de mudança de base. Para isso, você deve lembrar que as colunas da matriz são os vetores da base escritos na base .
Neste caso, a base é a canônica, de modo que é mais fácil construtir . Por isso começarei pelo item (c).
Como a base é canônica, os vetores de escritos na base não sofrem alteração: basta coloca-los nas colunas da matriz.
Para achar , basta inveter essa matriz.
Passo 2
Para inverter a matriz, vamos usar o método da matriz expandida:
Somando a terceira linha com a primeira:
Somando a terceira linha com a terceira:
Multiplicando a segunda linha por e somando com a terceira:
Por fim, somando a primeira linha com a terceira:
Assim, temos que
Passo 3
Por fim, queremos escrever o vetor na base :
Portanto,
Logo,