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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 22a

Resolva os sistemas:

(a) {[[vec x ^^ (vec i + vec j) = - vec i + vec j],[vec x . (vec i + vec j) = 2]])

Passo 1

Seja vec x ≔ ( x_1 , x_2 , x_3 ) . Para uma matriz 3 xx 3 , vamos calcular o determinante:

|[[vec i,vec j,vec k],[x_1,x_2,x_3],[1,1,0]]| = x_3 vec j + x_2 vec k - x_3 vec i = - x_3 vec i + x_3 vec j + (x_1 - x_2) vec k

Passo 2

Agora, vamos desenvolver a equação obtida no Passo 1 para determarmos valores numéricos para as coordenandas vec x ≔ ( x_1 , x_2 , x_3 ) :

- x_3 vec i + x_3 vec j + (x_1 - x_2) vec k = - vec i + vec j => {[[- x_3 = - 1],[x_3 = 1],[x_1 - x_2 = 0]]) => {[[x_3 = 1],[x_1 = x_2]])

Passo 3

Voltando ao sistema original, vamos analisar a sua segunda equação, que nos fornecerá o valor da soma das duas primeiras coordenadas de vec x ≔ (x_1 , x_2 , x_3) :

vec x . (vec i + vec j) = 2 => x_1 + x_2 = 2

Passo 4

Como x_1 = x_2 , é fácil perceber que x_1 = x_2 = 1 , ou seja, a solução para o nosso sistema é (1,1 , 1) .

Resposta

A solução é vec x = (1,1 , 1) .

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