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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 5.Problemas propostos - Ex. 24c

Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é, simultaneamente, ortogonal às retas r 1 e r 2 , nos casos.

A é interseção de r 1 e r 2 :

r 1 = x - 2 = y + 1 2 = z 3             e                 r 2 : x = 1 - y z = 2 + 2 y

Passo 1

Vamos começar a resolver esse exercício colocando as equações de r 1 em termos de t :

x - 2 = y + 1 2 = z 3 = t

x - 2 = t y + 1 2 = t z 3 = t

Isolando os termos x , y e z :

x = 2 + t y = 2 t - 1 z = 3 t

Com isso, conseguimos encontrar um vetor V r 1 referente aos termos em função de t e o ponto P r 1 com os termos sem função de t :

V r 1 = ( 1,2 , 3 )

P r 1 = ( 2 , - 1,0 )

Passo 2

Agora, vamos fazer com que r 2 trabalhe em função de t e isso acontece quando t = y :

  r 2 : x = 1 - y z = 2 + 2 y

Então:

x = 1 - t y = t z = 2 + 2 t

O vetor V r 2 pode ser dado pelos termos em função de t :

V r 2 = ( - 1,1 , 2 )

Passo 3

A condição que garante a ortogonalidade entre r 1 e r 2 , podemos tirar o produto vetorial:

V r 1 × V r 2

Sendo:

V r 1 = ( 1,2 , 3 )

V r 2 = ( - 1,1 , 2 )

Resolvendo:

V r 1 × V r 2 = i → j → k → 1 2 3 - 1 1 2 = 4 i + k - 3 j - - 2 k + 3 i + 2 j = ( 1 , - 5,3 )

Com nosso vetor V r = ( 1 , - 5,3 ) e o ponto P r 1 = ( 2 , - 1,0 ) , podemos montar as equações paramétricas que passa por A e é ortogonal às retas:

x = 2 + t y = - 1 - 5 t z = 3 t

Resposta

x = 2 + t y = - 1 - 5 t z = 3 t

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